Inégalité de Shapiro

Supposons que ${\displaystyle n}$ soit un entier naturel ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ sont des réels positifs, et:

• ${\displaystyle n}$ est pair et inférieur ou égal à ${\displaystyle 12}$, ou
• ${\displaystyle n}$ est impair et inférieur ou égal à ${\displaystyle 23}$.

L'inégalité de Shapiro énonce que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}}\geq {\frac {n}{2}}}$

où ${\displaystyle x_{n+1}=x_{1},x_{n+2}=x_{2}}$.

Pour de plus grandes valeurs de ${\displaystyle n}$ l'inégalité ne tient pas et la limite inférieure stricte est ${\displaystyle \gamma {\frac {n}{2}}}$ avec ${\displaystyle \gamma \approx 0.9891\dots }$.

Les preuves initiales de l'inégalité dans les cas ${\displaystyle n=12}$ (Godunova et Levin, 1976) et ${\displaystyle n=23}$ (Troesch, 1989) par des calculs numériques. En 2002, P.J. Bushell et J.B. McLeod ont publié une preuve analytique pour ${\displaystyle n=12}$.

La valeur de ${\displaystyle \gamma }$ a été déterminée en 1971 par Vladimir Drinfeld, qui a gagné une médaille Fields en 1990. Plus précisément, Drinfeld a montré que la limite inférieure stricte de ${\displaystyle \gamma }$ est donnée par ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\psi (0)}$, où ${\displaystyle \psi }$ est l'enveloppe convexe de ${\displaystyle f(x)=e^{-x}}$ et ${\displaystyle g(x)={\frac {2}{e^{x}+e^{\frac {x}{2}}}}}$.

Le premier contre-exemple a été trouvé par Lighthill en 1956, pour ${\displaystyle n=20}$:

${\displaystyle x_{20}=(1+5\epsilon ,\ 6\epsilon ,\ 1+4\epsilon ,\ 5\epsilon ,\ 1+3\epsilon ,\ 4\epsilon ,\ 1+2\epsilon ,\ 3\epsilon ,\ 1+\epsilon ,\ 2\epsilon ,\ 1+2\epsilon ,\ \epsilon ,\ 1+3\epsilon ,\ 2\epsilon ,\ 1+4\epsilon ,\ 3\epsilon ,\ 1+5\epsilon ,\ 4\epsilon ,\ 1+6\epsilon ,\ 5\epsilon )}$ où ${\displaystyle \epsilon }$ est près de 0.

Ainsi, le membre de gauche vaut ${\displaystyle 10-\epsilon ^{2}+O(\epsilon ^{3})}$, donc inférieur à 10 quand ${\displaystyle \epsilon }$ est assez petit.

Le contre-exemple suivant pour ${\displaystyle n=14}$ est de Troesch (1985):

${\displaystyle x_{14}=(0,42,2,42,4,41,5,39,4,38,2,38,0,40)}$ (Troesch, 1985)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Shapiro inequality » (voir la liste des auteurs).

• A.M. Fink, Recent progress in inequalities. Dedicated to Prof. Dragoslav S. Mitrinović, vol. 430, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers., 1998, 241–248 p. (ISBN 0-7923-4845-1, zbMATH 0895.26001), « Shapiro's inequality »
• P.J. Bushell et J.B. McLeod, « Shapiro's cyclic inequality for even n », J. Inequal. Appl., vol. 7,‎ 2002, p. 331–348 (ISSN 1029-242X, zbMATH 1018.26010, lire en ligne) They give an analytic proof of the formula for even ${\displaystyle n\leq 12}$, from which the result for all ${\displaystyle n\leq 12}$ follows. They state ${\displaystyle n=23}$ as an open problem.

• (en) « Shapiro inequality », sur PlanetMath