Inégalité DKW

Soit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$ un entier naturel non nul fixé et ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ des variables aléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuées (iid) de fonction de répartition ${\displaystyle F}$. On note ${\displaystyle F_{n}}$ la fonction de répartition empirique définie par

${\displaystyle F_{n}(t)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i}\leq t\}},\qquad \forall t\in \mathbb {R} .}$

L'inégalité DKW borne la probabilité que la fonction de répartition empirique diffère de la fonction de répartition d'une valeur plus élevée que ${\displaystyle \varepsilon }$ uniformément sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Formellement, l'inégalité DKW par rapport à un côté est donnée par :

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\sup _{t\in \mathbb {R} }(F_{n}(t)-F(t))>\varepsilon \right)\leq e^{-2n\varepsilon ^{2}},\qquad \forall \varepsilon \geq {\sqrt {{\frac {1}{2n}}\ln 2}}.}$

Cette inégalité entraîne l'inégalité par les deux côtés suivante (qui n'exige pas de conditions sur ${\displaystyle \varepsilon }$) :

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\sup _{t\in \mathbb {R} }|F_{n}(t)-F(t)|>\varepsilon \right)\leq 2e^{-2n\varepsilon ^{2}},\qquad \forall \varepsilon >0.}$

Ce résultat renforce le théorème de Glivenko-Cantelli, appelé théorème fondamental de la statistique, qui précise lui que la fonction de répartition empirique ${\displaystyle F_{n}}$ converge uniformément vers la fonction de répartition ${\displaystyle F}$. En effet, elle quantifie la vitesse de convergence quand ${\displaystyle n}$ tend vers l'infini. Elle permet également d'estimer la queue de probabilité de la statistique de Kolmogorov-Smirnov.

Inégalité de concentration - résumé des inégalités de concentration pour les variables aléatoires.

Inégalité de Berry-Esseen - inégalité concernant également la fonction de répartition.