Hexagone de Lemoine

L'hexagone de Lemoine peut être défini comme un simple hexagone convexe dont les sommets sont définis par les intersections vues plus haut. Une seconde version consiste à connecter les points opposés par les trois segments passant par le point de Lemoine puis par relier les sommets adjacents par trois autres segments. Le résultat est un hexagone qui s'auto-intersecte.

Pour l'hexagone simple dessiné à partir d'un triangle de côtés ${\displaystyle a,b,c}$ et d'aire ${\displaystyle \Delta }$ le périmètre est donné par

${\displaystyle p={\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

et l'aire par

${\displaystyle K={\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta }$

Pour l'hexagone auto-intersecté, le périmètre est donné par

${\displaystyle p={\frac {\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

et l'aire par

${\displaystyle K={\frac {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta }$

Si géométriquement, cinq points déterminent une conique, six point arbitrairement choisis ne se trouvent pas en général sur une même conique, a fortiori sur un cercle. Néanmoins, les sommets de l'hexagone de Lemoine sont cocycliques. Autrement dit, l'hexagone de Lemoine est un polygone cyclique, ce qui signifie que ses sommets se trouvent tous sur un cercle commun. Le cercle circonscrit à l'hexagone de Lemoine est appelé premier cercle de Lemoine.