Groupe de Carnot

Une algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ est dite nilpotente s'il existe s tel que ${\displaystyle {\mathfrak {n}}^{s+1}=\{0\}}$, où ${\displaystyle {\mathfrak {n}}^{i}}$ est défini récursivement par ${\displaystyle {\mathfrak {n}}^{i+1}=[{\mathfrak {n}},{\mathfrak {n}}^{i}]}$ pour tout ${\displaystyle i\geq 1}$ et ${\displaystyle {\mathfrak {n}}^{1}={\mathfrak {n}}}$. On dispose donc d'une suite descendante ${\displaystyle {\mathfrak {n}}={\mathfrak {n^{1}}}\supset ...\supset {\mathfrak {n^{s}}}\supset {\mathfrak {n^{s+1}}}=\{0\}}$.

Cette algèbre de Lie est de plus stratifiée s'il existe un sous-espace ${\displaystyle V}$ satisfaisant pour tout ${\displaystyle i\geq 1,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}^{i}={\mathfrak {n}}^{i+1}\oplus V^{i}}$ où ${\displaystyle V^{i+1}=[V,V^{i}]}$ pour ${\displaystyle i\geq 1}$ et ${\displaystyle V^{1}=V}$. Ainsi si ${\displaystyle X_{1},...,X_{k}}$ représente une base de ${\displaystyle V}$, les vecteurs de la forme ${\displaystyle [X_{i_{1}},[X_{i_{2}},[...,[X_{i_{l-1}},X_{i_{l}}]]]]}$ engendrent l'algèbre complète (ici ${\displaystyle l\in \{1,\ldots ,s\}}$ et ${\displaystyle X_{i_{j}}}$ est un élément de la base pour tout ${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,l\}}$).

Les algèbres de Lie des groupes de Carnot possède des morphismes particuliers ${\displaystyle D_{\lambda }}$, appelés dilatations. Ceux-ci sont paramétrés par ${\displaystyle \lambda >0}$ de telle façon que ${\displaystyle V^{i}}$ soit un espace propre de valeur propre ${\displaystyle \lambda ^{i}}$.

Un groupe de Carnot est un groupe simplement connexe dont l'algèbre de Lie est telle que décrite précédemment. On peut identifier un groupe de Carnot à son algèbre de Lie en utilisant la formule de Baker-Campbell-Hausdorff.

• (en) John Mitchell, « On Carnot-Carathéodory metrics », Journal of Differential Geometry, vol. 21, n^o 1, 1985, p. 35-45 [lire en ligne].
• Pierre Pansu, Géométrie du groupe d'Heisenberg, thèse de l'Université Paris VII, 1982, [lire en ligne]
• Pierre Pansu, « Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un », Annals of Mathematics, vol. 129, n^o 1, 1989, p. 1-60
• (en) Mikhael Gromov, « Carnot-Carathéodory spaces seen from within », dans André Bellaïche et Jean-Jacques Risler, Sub-Riemannian geometry, Birkhäuser, coll. « Progress in Mathematics » (n^o 144), 1996 (ISBN 978-3-7643-5476-3, MR 1421821, lire en ligne), p. 79-323
• (en) Richard Montgomery, A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications (Mathematical Surveys and Monographs, Volume 91), 2002, AMS (ISBN 0-8218-1391-9).
• (en) Gerald B. Folland (en) et Elias M. Stein, Hardy spaces on Homogeneous groups.
• (en) A. Bonfiglioli, E. Lanconelli et F. Ugguzzoni, Stratified Lie Groups and Potential Theory for Their Sub-Laplacians.
• (en) Le Donne Enrico, Lecture notes on sub-Riemannian geometry, [lire en ligne]