Graphe parapluie

Le diamètre du graphe parapluie, l'excentricité maximale de ses sommets, est 3, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 2 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 1-sommet-connexe et d'un graphe 1-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 1 sommet ou de 1 arête.

Le nombre chromatique du graphe parapluie est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du graphe parapluie est 5. Il existe donc une 5-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Il est possible de compter les colorations distinctes du graphe parapluie, en fonction du nombre de couleurs autorisé. Cela donne une fonction polynomiale et le polynôme qui lui est associé est qualifié de polynôme chromatique. Ce polynôme de degré 7 admet pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 3. Il est égal à : ${\displaystyle (x-2)^{3}(x-1)^{3}x}$.

Le groupe d'automorphismes du graphe parapluie est un groupe abélien d'ordre 2 : le groupe cyclique Z/2Z.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe parapluie est : ${\displaystyle -(x^{2}+x-1)(x^{5}-x^{4}-7x^{3}+6x+2)}$.

• Théorie des graphes

• (en) Eric W. Weisstein, Parapluie Graph (MathWorld)