Graphe maison

Le graphe maison est, en théorie des graphes, un graphe possédant 5 sommets et 6 arêtes. Il peut être construit à partir de deux graphes cycles, C₃ et C₄, en leur faisant partager une arête. Sa représentation la plus commune le fait ressembler au dessin naïf d'une maison, d'où son nom employé au sein de la classification de l'ISGCI (Information System on Graph Classes and their Inclusions)[1].

Graphe maison
Représentation du graphe maison.

Nombre de sommets	5
Nombre d'arêtes	6
Distribution des degrés	2 (3 sommets) 3 (2 sommets)
Rayon	2
Diamètre	2
Maille	3
Automorphismes	2 (Z/2Z)
Nombre chromatique	3
Indice chromatique	3
Propriétés	Hamiltonien Parfait Planaire

Propriétés

Propriétés générales

Le diamètre du graphe maison, l'excentricité maximale de ses sommets, est 2, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 2 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 2-sommet-connexe et d'un graphe 2-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 2 sommets ou de 2 arêtes.

Coloration

Le nombre chromatique du graphe maison est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du graphe maison est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Il est possible de compter les colorations distinctes du graphe maison. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. C'est une fonction polynomiale et le polynôme qui lui est associé est qualifiée de polynôme chromatique. Ce polynôme de degré 5 admet pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 3. Il est égal à : $(x-2)(x-1)x(x^{2}-3x+3)$ .

Propriétés algébriques

Le groupe d'automorphismes du graphe maison est un groupe abélien d'ordre 2 : le groupe cyclique Z/2Z.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe maison est : $-x(x+2)(x^{3}-2x^{2}-2x+2)$ .

Voir aussi

Liens internes

Théorie des graphes

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, House Graph (MathWorld)

Références

(en) ISGCI (Information System on Graph Classes and their Inclusions), List of small graphs.

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