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Graphe de Harborth

Le graphe de Harborth est, en théorie des graphes, un graphe 4-régulier possédant 52 sommets et 104 arêtes. C'est un graphe allumette donc c'est à la fois un graphe distance-unité et un graphe planaire. Il s'agit du plus petit graphe allumette 4-régulier connu et il fut découvert par Heiko Harborth en 1986[1]. Si sa minimalité n'est toujours pas prouvée, on sait en revanche qu'il n'existe pas de graphe allumette 5-régulier[2].

Graphe de Harborth
Image illustrative de l’article Graphe de Harborth

Nombre de sommets 52
Nombre d'arêtes 104
Distribution des degrés 4-régulier
Rayon 6
Diamètre 9
Maille 3
Automorphismes 4 (Z/2Z×Z/2Z)
Nombre chromatique 3
Indice chromatique 4
Propriétés Allumette
Distance-unité
Planaire
Eulérien

Propriétés

Propriétés générales

Le diamètre du graphe de Harborth, l'excentricité maximale de ses sommets, est 9, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 6 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 4-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 4 arêtes.

En 2006, Eberhard H.-A. Gerbracht démontra que c'était un graphe rigide[3].

Coloration

Le nombre chromatique du graphe de Harborth est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 2-coloration valide du graphe.

L'indice chromatique du graphe de Harborth est 4. Il existe donc une 4-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Propriétés algébriques

Le groupe d'automorphismes du 52-graphe de Harborth est un groupe abélien d'ordre 4 isomorphe à Z/2Z×Z/2Z, le groupe de Klein.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe de Harborth est :

Voir aussi

Liens internes

Liens externes

Références

  1. Harborth, H. "Match Sticks in the Plane." In The Lighter Side of Mathematics. Proceedings of the Eugéne Strens Memorial Conference of Recreational Mathematics & its History. Calgary, Canada, July 27-August 2, 1986 (Eds. R. K. Guy and R. E. Woodrow). Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 281-288, 1994.
  2. Peterson, I. "Mathland: Matchsticks in the Summer." August 1996. http://www.maa.org/mathland/mathland_8_12.html
  3. Gerbracht, E. H.-A. "Minimal Polynomials for the Coordinates of the Harborth Graph." Oct. 5, 2006. https://arxiv.org/abs/math.CO/0609360.
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