Géostatistique intrinsèque

Stricto sensu, une variable régionalisée n'est pas sujette à des propriétés de stationnarité ; cette notion n'est pertinente que pour la fonction aléatoire dont le géostatisticien propose un modèle. Ces notions sont donc empiriques et approximatives, dépendantes du domaine et de l'échelle de travail : elles sont souvent supposées a priori, et parfois contrôlées a posteriori.

La stationnarité d'une loi est son invariance par translation. Soit un multiplet quelconque de points (de dimensions et orientation fixées), sa loi spatiale ne dépend pas du lieu de son implantation. On peut également exiger la stationnarité locale, c'est-à-dire que la fonction doit, en tout point, être stationnaire sur un voisinage de ce point (voisinage glissant indépendant du point).

Cette hypothèse est extrêmement forte, on lui préfère en pratique la stationnarité d'ordre 2, qui requiert que les espérances des valeurs ponctuelles et des doublets de points de processus existent et soient invariantes par translation. Par rapport à la définition stricte, celle-ci ne concerne que les lois au plus bivariables, cependant elle exige l'existence des moments d'ordre 1 et 2 sur les valeurs ponctuelles. Par abus de langage, cette propriété est souvent appelée « stationnarité », et la précédente « stationnarité stricte ».

Enfin, on peut évoluer dans un modèle intrinsèque, si les accroissements Z(x)-Z(y) sont stationnaires d'ordre 2. Il en découle l'existence de deux fonctions:

• une dérive, fonction linéaire ${\displaystyle \scriptstyle \forall x,m\left(h\right)=\mathbf {E} [Z\left(x+h\right)-Z\left(x\right)]}$; le cas sans dérive est tel que ${\displaystyle \scriptstyle m\left(h\right)=0}$ ;
• un demi-variogramme, ou variogramme ${\displaystyle \scriptstyle \forall x,\gamma \left(h\right)={\tfrac {1}{2}}\mathbf {Var} [Z\left(x+h\right)-Z\left(x\right)]}$, et dans le cas sans dérive ${\displaystyle \scriptstyle \gamma \left(h\right)={\tfrac {1}{2}}\mathbf {E} [\left(Z\left(x+h\right)-Z\left(x\right)\right)^{2}]}$.

Une fonction aléatoire intrinsèque non stationnaire d'ordre 2 est dite strictement intrinsèque.

Un problème est dit global s'il met en jeu la totalité du champ de la variable régionalisée étudiée. Il dépend à la fois de la structure intrinsèque de la variable régionalisée et de la géométrie du champ d'étude. Un tel problème se traite par la géostatistique transitive. Il est alors demandé l'homogénéité spatiale de l'implantation des données. Dans ce cas, on pourra distinguer le problème d'estimation (qui ne nécessite pas la stationnarité de la variable régionalisée, et se résout à l'aide du comportement à l'origine du covariogramme transitif), et le problème d'interprétation structurale sur la variable régionalisée (où les effets de la variable régionalisée et du champ d'étude doivent être séparés).

Un problème est dit local s'il se pose dans le voisinage d'un point d'étude. Sous la même contrainte d'homogénéité de la répartition de l'information, on construira alors des estimateurs linéaires invariants par translations; la stationnarité est celle de l'estimateur, non celle du phénomène physique.

On demande généralement au processus stationnaire Z de satisfaire l'hypothèse d'ergodicité. On définit : ${\displaystyle M^{*}={\frac {1}{[S]}}\int _{S}Z(x)\mathrm {d} x}$ L'hypothèse d'ergodicité suppose que : ${\displaystyle \lim _{[S]\to \infty }M^{*}=\mathbf {E} \left[Z\right]}$ On a alors: ${\displaystyle \mathbf {E} [M^{*}]=m}$ ${\displaystyle \mathbf {Var} [M^{*}]={\frac {1}{[S]^{2}}}\int \sigma (h)K(h)\mathrm {d} h}$ avec K(h) le covariogramme géométrique de S et σ(h) la covariance centrée de Z.

La stationnarité n'entraîne pas l'ergodicité. En pratique S ne peut tendre vers l'infini. On dira que plus Var[M^*] est faible, plus m présente de signification objective. Asymptotiquement, on aura : ${\displaystyle \mathbf {Var} [M^{*}]\sim {\frac {A}{S}}\sigma \left(0\right)}$ où ${\displaystyle \scriptstyle A={\frac {1}{\sigma \left(0\right)}}\int \sigma (h)\mathrm {d} h}$ est la portée intégrale, qui a la dimension de l'espace (aire dans ℝ²).

Tout se passe comme si l'estimateur M^* était obtenu en prenant la moyenne de N=S/A variables indépendantes de variance σ(0). Plus N est grand, plus le paramètre présente de signification objective. Par conséquent, on peut supposer l'hypothèse d'ergodicité si S est grand par rapport à A. De plus, soit un support s suffisamment grand par rapport à A. On peut écrire ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {\sigma }}\left(v,v\right)={\frac {A}{v}}}$. On peut contrôler si le modèle est correct en estimant la validité de la relation ${\displaystyle \scriptstyle s^{2}\left(s|S\right)=A\left({\frac {1}{s}}-{\frac {1}{S}}\right)}$. Il existe également des modèles théoriques de portée intégrale infinie, à éviter.

L'échelle de travail est totalement absente du formalisme probabiliste, néanmoins elle détermine la manière dont le géostatisticien contrôlera a posteriori les hypothèses de stationnarité et d'ergodicité.

Le support est la taille physique, caractérisée par une géométrie et une orientation, du volume sur lequel est mesurée la variable régionalisée.

Une combinaison linéaire de la fonction aléatoire est ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}}$. Une mesure sur la fonction aléatoire est ${\displaystyle \scriptstyle \int \lambda \left(\mathrm {d} t\right)Z\left(t\right)}$.

Une combinaison linéaire (respectivement une mesure) est dite autorisée (en abrégé, CLA) si son espérance et sa variance sont finies.

Dans le cadre d'une fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2, toutes les mesures sont autorisées, toutes les combinaisons linéaires sont autorisées et stationnaires. Dans ce cas, les deux premiers moments s'écrivent :

${\displaystyle \mathbf {E} \left[\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}\right]=\sum _{i}\lambda _{i}m_{i}}$
${\displaystyle \mathbf {Var} \left[\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}\right]=\sum _{ij}\lambda _{i}C_{ij}\lambda _{j}}$

De plus, dans les hypothèses présentes, on peut simplifier l'écriture des moments : ${\displaystyle m\left(x\right)=m}$ constant dans l'espace
${\displaystyle C\left(x,y\right)=C\left(h\right)}$ avec ${\displaystyle h=x-y}$

La covariance stationnaire a les propriétés de symétrie, d'inégalité de Schwarz, de positivité. De plus, son comportement à l'origine est lié aux caractères de continuité ou de dérivabilité en moyenne quadratique de la fonction aléatoire. Par contre, à la différence du covariogramme transitif, C(h) peut ne pas être identiquement nul au-delà d'une certaine valeur de h. Son intégrale ∫ C(h)dh n'est non plus pas forcément définie.

Dans l'hypothèse intrinsèque, les CLA exactement les combinaisons d'accroissement (du type ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{i}\lambda _{i}\left(Z\left(x_{i}\right)-Z\left(y_{i}\right)\right)}$), c'est-à-dire les mesures de poids total nul : λ(dt) telles que ∫λ(dt)=0. La valeur ponctuelle elle-même n'est pas une CLA.

L'espérance d'une CLA dans le cas intrinsèque sans dérive est nulle. Sa variance s'obtient comme s'il existait une covariance égale à l'opposé du variogramme : ${\displaystyle \mathbf {Var} [\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}]=\sum _{i,j}-\lambda _{i}\gamma _{i,j}\lambda _{j}}$. Cela reste vrai si le variogramme n'est pas stationnaire.

Soit un domaine borné v. On posera la variable aléatoire suivante, moyenne spatiale de la fonction aléatoire étudiée :
${\displaystyle {\bar {Z}}\left(v\right)={\frac {1}{[v]}}\int _{v}Z(x)\mathrm {d} x}$ où [v] est la mesure du domaine v

La variance de Z(v) s'écrit:
${\displaystyle \mathbf {Var} \left[{\bar {Z}}\left(v\right)\right]={\frac {1}{[v]^{2}}}\int _{v}\int _{v}Z(x-y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y}$, qui est la version continue d'une variance de CLA

Posons maintenant deux domaines v et v′. Comme ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {E} \left[{\bar {Z}}\left(v\right)-Z\left(v'\right)\right]=0}$, Z(v′) est un estimateur sans biais de Z(v). On appelle variance d'extension de v à v′ la variance de l'erreur d'estimation :
${\displaystyle \sigma _{E}^{2}\left(v,v'\right)=\mathbf {Var} \left[{\bar {Z}}\left(v\right)-Z\left(v'\right)\right]}$

On écrit alors:
${\displaystyle \sigma _{E}^{2}={\bar {C}}\left(v,v\right)+{\bar {C}}\left(v',v'\right)-2{\bar {C}}\left(v,v'\right)}$

La variance d'extension est invariante par translation identique des deux domaines v et v′ ; c'est donc une caractéristique non-locale du modèle. Dans le cas où v′ est un ensemble fini de points Z(x_i), on parle de variance d'estimation de v par les prélèvements Z(x_i). Cependant, ${\displaystyle \scriptstyle \sigma _{E}^{2}}$ n'est pas une variance conditionnelle, puisque la quantité à estimer et l'estimateur y jouent un rôle symétrique. De plus, on ne peut pas en déduire d'intervalle de confiance.

Historiquement, la géostatistique s'est développé initialement pour expliquer les comportements de la variance de dispersion, ce que ne faisait pas la statistique classique.

On vérifie aisément que Z(v)-Z(v′) est une CLA. Alors ${\displaystyle {\sigma _{\mathrm {E} }}^{2}\left(v,v'\right)=2{\bar {\gamma }}\left(v,v'\right)-{\bar {\gamma }}\left(v,v,\right)-{\bar {\gamma }}\left(v',v'\right)}$.

On retrouve en cas particulier : ${\displaystyle {\sigma _{\mathrm {E} }}^{2}\left(\left\{x\right\},\left\{x+h\right\}\right)=2\gamma \left(h\right),\forall x}$.

Soit un domaine V de l'espace de travail et une partition de V en N sous-domaines v_i identiques entre eux à une translation près. Nous poserons Z et z_i les moyennes respectivement sur V et sur v_i de z(x). On généralise le concept de dispersion (ou variance) grâce à la dispersion statistique de v dans V, donnée par : ${\displaystyle s^{2}\left(v|V\right){=}{\frac {1}{N}}\sum _{i}\left({\bar {z}}_{i}-{\bar {z}}\right)^{2}}$, où l'on retrouve la variance statistique pour un domaine v = {x} ponctuel.

Par immersion probabiliste, on définit une nouvelle variable aléatoire S²(v|V): ${\displaystyle S^{2}\left(v|V\right){=}{\frac {1}{N}}\sum _{i}\left({\bar {Z}}_{i}-{\bar {Z}}\right)^{2}}$

On définit la variance de dispersion de v dans V comme l'espérance mathématique de S²(v|V), et on la note σ²(v|V).

La variance de dispersion peut également s'écrire sans contrainte de partition (et même quand v est un sur-ensemble de V, auquel cas elle est négative) : ${\displaystyle \sigma ^{2}(v|V){=}{\bar {C}}(v,v)-{\bar {C}}(V,V)}$

On définit également la covariance de dispersion de v et v′ dans V : ${\displaystyle \sigma ^{2}\left(v,v'|V\right){=}{\bar {C}}(v,v)-{\bar {C}}(V,V)}$

On a également: ${\displaystyle \sigma ^{2}\left(0|V\right){=}C(0)-{\bar {C}}(V,V)}$ ${\displaystyle \sigma _{E}^{2}\left(v,v'\right){=}\sigma ^{2}\left(v|V\right)+\sigma ^{2}\left(v'|V\right)-2\sigma ^{2}\left(v,v'|V\right),\forall V}$

Il existe des phénomènes où s²(v|V) croît indéfiniment lorsque V croît. Cela oblige à proposer le cas échéant un modèle sans variance a priori.

On a alors : ${\displaystyle \sigma ^{2}\left(v|V\right)={\bar {\gamma }}\left(V,V\right)-{\bar {\gamma }}\left(v,v\right)}$. En particulier, ${\displaystyle \sigma ^{2}\left(\left\{o\right\}|V\right)={\bar {\gamma }}\left(V,V\right)}$

La représentation glissante d'une variable régionalisée z S₀ est la fonction aléatoire Z définie par : ${\displaystyle Z\left(x\right)=z\left({\underline {u}}+x\right)}$ où u est le point aléatoire uniforme sur S₀.

En posant en outre la grandeur régionale suivante, qui est covariance de Z : ${\displaystyle C\left(x,y\right)={\frac {1}{[S_{0}]}}\int _{S_{0}}z\left(u+x\right)z\left(u+y\right)\mathrm {d} u}$
avec ${\displaystyle C\left(x,y\right)=\mathbf {E} [Z(x).Z(y)]}$

La régularisation d'une variable aléatoire est sa pondération par une mesure. Soit p(dt) une mesure supposée normée (∫p(dt)=1), on écrit la régularisée: ${\displaystyle \scriptstyle Z_{p}\left(x\right)=\int Z\left(x+t\right)p\left(\mathrm {d} t\right)}$

Z_p est une intégrale stochastique, définie, dans le cas stationnaire d'ordre 2, ssi ${\displaystyle \int \int p\left(\mathrm {d} x\right)C_{x,y}p\left(\mathrm {d} y\right)<\inf }$.

En cas d'existence, Z_p est stationnaire d'ordre 2 et de covariance ${\displaystyle C_{p}\left(h\right)=\int \int C\left(h+x-y\right)p\left(\mathrm {d} x\right)p\left(\mathrm {d} y\right)}$.

Cela reste vrai en hypothèse intrinsèque stricte, en remplaçant alors C(·) par γ(∞)−γ(·).

• Géostatistique

• Pierre Chauvet, Aide-mémoire de géostatistique linéaire, Paris, Les Presses de l'École des Mines, août 1999 (réimpr. 1993, 1994, 1998, 1999, 2008) (1^re éd. 1989), 367 p., 16 × 24 cm (ISBN 2-911762-16-9, BNF 37051458)