Géomécanique

La théorie géomécanique de l’élasticité est fondée sur la loi de Hooke, proportionnalité du rapport effort (C)/déformation (D) exprimée par le module d’Young (E) du milieu, constant si l’effort croissant maximal est assez faible pour que la déformation soit strictement réversible quand il décroît : E ≈ C/D. Elle peut s’appliquer à certains comportements mécaniques des sols et des roches ; en particulier, pour les fondations et les galeries, on s’efforce toujours à faire en sorte que sous l’effet des charges qu’on lui impose, les déformations du géomatériau ne sortent pas du domaine élastique.

Sans en donner une définition claire, les géomécaniciens l’appliquent à un milieu pseudo-élastique et définissent autant de modules "élastiques" différents entre eux et du module d’Young, que d’appareils d’essais et de méthodes de calcul dont ils disposent, ce qui peut entraîner de dangereuses confusions pratiques. Plusieurs essais permettent de mesurer de tels modules ; l’essai in situ au pressiomètre est le plus courant et le plus simple d’entre eux ; au laboratoire, on peut utiliser la compression simple ou le triaxial.

Elle s’applique aussi à la propagation des ondes sismiques qui imposent de faibles contraintes à un massif de géomatériau, caractérisé par sa vitesse (V).

La théorie de la plasticité et de la rupture est fondée sur la loi de Coulomb ; elle concerne plus particulièrement les matériaux sablo-argileux meubles, monophasiques.

Coulomb a établi la formule linéaire permettant de prévoir la rupture par cisaillement d’un géomatériau meuble sous l’effet conjugué d’une traction (T) et d’une compression (N) : T = c + N*tgφ, dans laquelle c (cohésion) et φ (angle de frottement) sont les paramètres constants caractéristiques du matériau et de sa compacité – en fait, c et φ dépendent de N et la courbe représentative de cette fonction est une demi-parabole dite courbe intrinsèque du matériau que l’on convertie en droite par lissage. Si le point représentatif (M) de l’état du matériau caractérisé par un couple c/φ est situé sous la courbe, c et φ sont virtuels, le matériau se déforme élastiquement ; s’il est sur la courbe, il est à sa limite d’adhérence au-delà de laquelle à la fois naît le glissement et se produit la rupture ; s’il est au-dessus de la courbe, c disparaît et une partie de φ persiste, il glisse plastiquement.

Les calculs théoriques ne peuvent utiliser que des milieux purement frottants dont la cohésion est nulle ou des milieux purement cohérents dont l’angle de frottement est nul ; il n'existe évidemment pas de tels géomatériaux réels. En pratique, si c est petit devant N*tgφ, le matériau est dit frottant ; si c est grand, le matériau est dit cohésif. Si c est très grand, la loi de Coulomb n’est plus pertinente ; on caractérise le matériau dur et cassant - roches et sols résistants - par sa résistance à la compression simple Rc, paramètre pratique très facile à mesurer au moyen d’une simple presse ; on admet que Rc ≈ 2 c.

Plusieurs essais de terrain et de laboratoire permettent de mesurer la cohésion et l’angle de frottement d’un géomatériau. Au laboratoire, selon que l’on compacte ou non le matériau des éprouvettes, qu’on le charge plus ou moins rapidement et que l’on draine ou non, on réalise des essais plus ou moins consolidés (C), drainés (D), lents qui donnent respectivement des couples c/φ différents : CD (consolidé, drainé ou lent), CU (consolidé, non drainé ou rapide), UU (non consolidé, non drainé ou rapide), U ; en pratique, on maîtrise mal le pilotage de l’essai, matériau plus ou moins drainé et consolidé, effort plus ou moins lent. L’essai par cisaillement plan à la boîte de Casagrande est le plus courant et le plus simple ; il donne des couples c/φ génériques – CD ou UU -, largement suffisants pour les applications courantes ; l’essai au triaxial permet de réaliser tous les types d’essais ; les manipulations sont très longues, très compliquées et les résultats obtenus sont rarement nécessaires en pratique.

Les théories géomécaniques

La théorie de la consolidation a été proposée par Terzaghi ; elle concerne les matériaux sablo-argileux meubles biphasiques.

Sous l’action constante de son propre poids dans la nature ou sous celle d’une charge extérieure, un tel matériau se consolide de plus en plus à mesure que le temps passe : son indice des vides et sa teneur en eau diminuent, sa densité et sa résistance mécanique augmentent, sa perméabilité diminue ; le phénomène naturel est la partie mécanique de la diagenèse qui transforme les sédiments meubles en roches sédimentaires à l’échelle du temps géologique ; le phénomène induit par une charge extérieure verticale comme le poids d’un ouvrage est un tassement à l’échelle du temps humain. À l’inverse, si l’action est une décharge, l’indice des vides et la teneur en eau du matériau augmentent, sa densité et sa résistance mécanique diminuent ; le phénomène naturel est la partie mécanique de l’altération qui transforme les roches dures en altérites meubles ; le phénomène induit est un gonflement – talus de déblais, fond de fouille, parois de galerie… ; dans certaines conditions, le géomatériau peut alternativement tasser en se desséchant et gonfler en s’hydratant. La déformation est dite pseudo-élastique : le rapport contrainte/déformation n’est pas constant comme le module d’Young du comportement élastique linéaire ; il dépend de la pression interstitielle et de ses variations qui, elles, dépendent de la perméabilité du matériau ; la durée du tassement mais non sa valeur dépendent aussi de la perméabilité. Pour pouvoir traiter la relation contrainte/déformation du tassement primaire au moyen d’une formule biunivoque facilitant les calculs d’application, Terzaghi a défini une constante curieuse, l’indice de compression Cc qui lie l’indice de vides du matériau e au logarithme décimal de la contrainte effective σ’ : Cc = -Δe/Δlogσ’ et pour traiter sa relation déformation/temps, il a défini une autre constante, à peine moins étrange, le coefficient de consolidation Cv ; on les mesure au moyen d’un œdomètre dans lequel l'éprouvette frettée, saturée et drainée est soumise à un effort axial croissant puis décroissant par paliers dont les durées sont adaptées aux réponses du matériau.

La théorie de l’hydraulique souterraine est fondée sur la loi de Darcy ; elle stipule que dans un matériau perméable, la vitesse d’écoulement V (Q/S) et le gradient hydraulique i (Δh/L) sont linéairement liés par une constante empirique et composite, la perméabilité k - V = k*i - qui dépendrait seulement du matériau aquifère ; en fait c’est un paramètre qui synthétise les influences spécifiques de nombreux caractères du matériau auquel on l’attribue - granulométrie, nature et forme des grains, compacité, structure... - et du fluide qui y circule - nature, viscosité, température, composition chimique... ; elle peut entre autres varier par consolidation, colmatage, débourrage… du matériau.

La perméabilité a les dimensions [L.T⁻¹] mais pas la nature d’une vitesse ; V n’est pas la vitesse effective d’écoulement de l’eau dans le matériau mais une abstraction commode pour remplacer dans les calculs tensoriels le rapport Q/S, quantité d’eau qui passe à travers la surface unité de matériau perpendiculaire aux lignes de courant, dans l’unité de temps.

On ne peut pas prélever d’échantillons « intacts » de matériaux peu consistants et perméables comme les sables et graves alluviaux, ou fragiles comme les roches fissurées ; la perméabilité ne peut y être mesurée qu’au moyen d’essais in situ, essais Lefranc et essais de pompage dans les premiers, essais Lugeon dans les seconds. La perméabilité des matériaux assez consistants et peu perméables comme les argiles plus ou moins sableuses, se mesure au laboratoire au moyen de perméamètres à charge variable comme un œdomètre aménagé, généralement au cours d’un essai de consolidation. Lors d’un essai, on mesure les débits stabilisés correspondant à des charges successivement augmentées ; on trace ensuite le diagramme débit/charge, une droite lissée dont la pente mesure la perméabilité.

Les théories de l’élasticité (Hooke), de la plasticité et de la rupture (Coulomb) s’appliquent en continuité à la déformation d’un milieu monophasique soumis à un effort croissant qui, dans le modèle élasto-plastique de Hooke/Coulomb, subit successivement une déformation élastique, une déformation plastique, une rupture et un glissement.

En pratique, on sépare les études de déformation des études de rupture. En effet, atteindre l’état limite de service du géomatériau est inacceptable, car une déformation plastique de ce matériau peut entraîner de graves dommages sinon la ruine d’ouvrages mal adaptés à la subir et qui seraient ainsi au-delà de leur état limite ultime ; c’est l’application d’un coefficient de sécurité au résultat du calcul qui permet en principe que l’ensemble géomatériau-ouvrage soit en état « élastique ».

Boussinesq a calculé les contraintes et les déplacements dans un milieu élastique, semi-infini, sans tension initiale et donc non pesant, limité par un plan infini, soumis à un effort extérieur. Pour l’effet d’une charge ponctuelle, perpendiculaire à la surface du milieu, il a établi une formule assez compliquée, mais les géomécaniciens n’ont généralement besoin de connaître que la contrainte normale maximale Δz pour s’assurer qu’elle est inférieure aux limites d’élasticité et/ou de rupture du géomatériau et pour calculer le tassement selon la théorie de la consolidation ; on simplifie cette formule au moyen d’un coefficient d’influence I sans dimension que l’on trouve sous forme de table ou d’abaque dans les ouvrages de mécanique des sols ; plus simplement encore, on peut admettre qu’à des profondeurs croissantes, l’effet de la charge se répartit régulièrement sur des surfaces qui croissent selon un angle pyramidal plus ou moins arbitraire, sans qu’il en résulte de grandes différences pratiques.

Le procédé d’intégration graphique de Newmark établit l’influence d’une charge rectangulaire à la verticale d’un angle d’un rectangle : la valeur du coefficient d’influence I à une profondeur donnée dépend de cette profondeur et des dimensions du rectangle ; elle s’obtient par des tables et/ou des abaques ; on calcule l’influence d’une charge quelconque sur une surface quelconque par sommation des influences de rectangles ; ce procédé est bien adapté au calcul numérique.

Divers auteurs dont Fröhlich et Westergaard ont proposé des formules censées améliorer celle de Boussinesq ; elles sont encore plus compliquées sans que dans l’ensemble, leurs résultats pratiques soient meilleurs, car elles reposent sur les mêmes hypothèses simplificatrices générales et sur des hypothèses particulières supplémentaires.

L’étude de l’équilibre plastique d’un massif de matériau meuble est fondée sur l’application de la théorie de Coulomb pour définir la limite d’adhérence du matériau sur la surface de rupture. La détermination de la position et de la forme de la surface de rupture, celle de la distribution et de la valeur des contraintes sur cette surface sont les problèmes mathématiquement insolubles, ou du moins qui ne peuvent recevoir que des solutions particulières, fondées sur des hypothèses de calcul simplificatrices plus ou moins réalistes ; le massif est limité horizontalement par un socle et une surface libre, verticalement par un écran rigide ou un talus ; il est constitué d’un matériau homogène, isotrope et invariant ; il est soumis à l’action de la gravité et/ou d’une force extérieure ; la déformation plastique du matériau avant la rupture est négligée ; la surface de rupture est une surface réglée dont on ne connaît pas la position dans le massif ; perpendiculairement au plan, la largeur de la surface de rupture est infinie ; le massif dans lequel la rupture se produit était primitivement en équilibre ; l’inertie n’intervient pas dans le processus : la rupture est générale, instantanée ; les matériaux glissés disparaissent sans participer au nouvel équilibre du massif, maintenant limité à la surface de rupture dont la trace dans le plan de la figure est un segment de droite ou un arc de cercle.

Dans un milieu perméable, l’écoulement de l’eau est supposé régi par la loi de Darcy dans le cadre de la théorie de l’hydraulique générale ; la résolution analytique de n’importe quel problème d’écoulement souterrain permanent est en principe possible mais rarement simple ; il en va à peine mieux en calcul numérique ; on préfère donc résoudre les problèmes débit/rabattement qui se posent souvent et qui s’y prêtent, au moyen de méthodes comme celle de Dupuit, la plus simple et la plus commode pour calculer le débit permanent d’ouvrages élémentaires d’épuisement, tranchées drainantes, puits... en fonction de pertes de charges dans des domaines et pour des conditions aux limites simples. Les dispositifs d’ouvrages complexes sont modélisés comme de grands ouvrages simples. Les problèmes d’écoulement en régime transitoire se traitent par la méthode de Theis.

La stabilité d’un versant naturel, celle des parois d’une excavation ou d’un barrage « en terre », pose le problème de la stabilité d’un talus, d’un éventuel soutènement et d’un drainage. On peut le résoudre analytiquement par la méthode due à Rankine de la hauteur critique du talus - hauteur au-delà de laquelle un talus de pente donnée est potentiellement instable - et/ou du coin de Coulomb, ou graphiquement et numériquement par la méthode due à Fellenius améliorée par Bishop des tranches ou du coefficient de sécurité au glissement.

Les calculs analytiques qui découlaient de ces méthodes imposaient de nombreuses hypothèses simplificatrices mais demeuraient très compliqués ; l’informatique permet maintenant de tenir compte de tous les éléments du bilan des forces agissant sur le modèle, y compris des écoulements d'eau permanents ou non, des ouvrages existants ou projetés, des soutènements... Les plus perfectionnés fonctionnent à la manière des logiciels numériques aux éléments distincts, souvent en utilisant l’écran pour améliorer la solution en faisant subir au modèle de forme des déformations successives selon les conditions qu’on lui impose ; les sources d’imprécisions de données et/ou de calcul sont très nombreuses ; il est donc prudent sinon obligé de valider le logiciel utilisé dans un cas donné et de critiquer les résultats qu’il fournit auquel on applique un coefficient de sécurité que l’on minimise souvent pour des raisons d’économies de chantier ; c’est à la rigueur acceptable pour un avant-projet ou pour le très court terme, mais pas pour le long terme ou si un glissement éventuel est susceptible de mettre en péril un ouvrage voisin et/ou a fortiori, une vie humaine.

Le choix du type de fondations d’un ouvrage - superficielles (semelles filantes, semelles isolées, radier), semi-profondes (puits), profondes ou spéciales (pieux ancrés, pieux flottants) – pose des problèmes géotechniques spécifiques de rupture de fondation et de stabilité d’ouvrage aux tassements, à la fois géologiques(nature des géomatériaux, structure du sous-sol du site…) géomécaniques (modèle de forme, paramètres des milieux…) et constructifs (implantation, architecture, structure…).

Les mouvements susceptibles d’affecter des fondations sont les tassements élastiques ou de consolidation, les gonflements, les ruptures plastiques, – basculements, poinçonnements ou glissements ; on doit s’accommoder des tassements ; on peut éviter les gonflements ; il est indispensable d’éviter les ruptures ; ces phénomènes sont évidemment étroitement liés en pratique, mais la géomécanique ne sait les traiter qu’indépendamment. En fait et contrairement à ce que l’on croit généralement, la stabilité des ouvrages aux tassements prime sur le risque de rupture de leurs fondations, car si la première est assurée, le second l’est à peu près sûrement – ce qu’il faut évidemment vérifier.

Ce que l’on appelle la contrainte ou la pression admissible d’une fondation est celle que l’on déduit de la charge ultime calculable par les moyens de la géomécanique en la minorant par un coefficient de sécurité (1/3 en général) – pour faire plus sérieux sans plus d’efficacité pratique, on parle maintenant de méthode semi-probabiliste de justification d’ouvrage selon l’eurocode 7 ; cette charge dépend des caractéristiques mécaniques du géomatériau d’assise, de la méthode de calcul, de la forme, de la surface et de la profondeur de la fondation…

Le cas des fondations superficielles est le plus courant en pratique :

À partir des essais de laboratoire, les calculs de rupture reposent sur des extensions de la théorie de Coulomb et les paramètres mesurés à la boite de Casagrande ou au triaxial : la méthode de Rankine/Prandtl permet le calcul de la charge ultime q d’une fondation superficielle en la considérant comme la somme d’un terme de profondeur et d’un terme de surface ; Terzaghi a proposé une « méthode approchée » tenant compte de la cohésion. Ceux de tassements reposent sur la théorie de Terzaghi et les paramètres mesurés à l’œdomètre appliqués à l’équilibre élastique selon la méthode de Boussinesq.

Selon la théorie de Ménard à partir de l’essai pressiométrique, le paramètre de rupture est la pression limite ; celui du tassement est le module pressiométrique.

On étudie l’extraction d’eau souterraine dans un massif constitué de matériau perméable aquifère pour l’exploiter par pompage dans un puits ou un forage ou pour y assécher une fouilles dont le fond est sous le niveau de la nappe.

En pratique, on pose un problème de relation débit/rabattement dans un ouvrage et une situation donnés ; les paramètres utilisés sont le gradient d’écoulement qui se mesure facilement à partir d’un réseau de piézomètres établi autour du point d’extraction et le coefficient de perméabilité du massif aquifère qui ne se mesure correctement qu’in situ, par essais Lefranc. La méthode de Dupuit est la plus simple et la plus commode pour résoudre ce problème. Le résultat est un ordre de grandeur qu’il faut préciser par un essai de pompage dans un puits d’essai.