Formules de calcul du calendrier grégorien

• février an 44 av. J.-C. (-43 UTC) : la longueur du mois de février est largement ajustée par Jules César afin de synchroniser définitivement les équinoxes solaires (à cette époque, janvier et février n'existaient pas encore formellement en tant que mois dans le calendrier romain, mais décembre était suivi d'environ 61 jours, qui sont devenus les mois de janvier et février, éventuellement suivi tous les deux ans d’un mois intercalaire : février comptait normalement soit 28 jours les années sans mois intercalaire, soit 23 ou 24 jours les années avec un mois intercalaire de 27 jours, mois inséré au milieu du mois de février). César change la longueur de ce mois intercalaire (qui servait à synchroniser le cycle lunaire pour que mars commence à la première nouvelle lune de l'année solaire) pour ajuster la fin du mois de février sur l'année tropique : il ajoute en même temps un jour aux 5 derniers jours de février qui suivent le mois intercalaire (les jours nommés « calendes de mars ») et en fait le premier jour épagomène dans son nouveau calendrier solaire. Bien que le calendrier julien ne soit pas encore en vigueur, le calendrier romain ajusté est déjà désynchronisé d’un jour en fin de mois sur le futur calendrier julien (à cause de la journée épagomène ajoutée en trop par César lui-même, pour allonger la célébration des calendes de mars à l’occasion de son nouveau calendrier) !
• le 23 février an 44 av. J.-C. (-43 UTC), réellement a.d. VI Kal. Mars (ante diem sextum Kalendas Martii, ou jour 6 des calendes de mars) dans le calendrier romain, marque la fin du calendrier romain républicain, le lendemain du dernier mois intercalaire (de 23 jours ajusté par César) aboli définitivement à compter de ce jour. Toutefois ce mois de février reste "anormal" dans ses débuts il a été suivi d’un mois intercalaire selon l’ancienne règle romaine. Le calendrier de Rome aura donc maintenant toujours 12 mois (au lieu de 12 ou 13 suivant les années), et des mois de janvier et février réguliers.
• le 24 février an 44 av. J.-C. (-43 UTC), réellement a.d. VI bis Kal. Mars (ante diem sextum bis Kalendis Mars, ou jour « 6 bis » des calendes de mars, d’où le nom d’année « bissextile », bissextilis) dans le calendrier romain, marque l’instauration du calendrier julien, le lendemain du mois intercalaire ajusté par César et aboli définitivement à compter de ce jour. Toutefois ce mois de février reste "anormal" dans ses débuts car il a contenu un mois intercalaire réformé. Le calendrier romain aura donc maintenant toujours 12 mois (au lieu de 12 ou 13 suivant les années), des mois de janvier et février réguliers (sauf les années bissextiles avec un jour de plus en fin de mois), et les autres mois allongés pour que l'année compte exactement 365 jours (ou 366 jours les années bissextiles).
• le 29 février an 44 av. J.-C. (-43 UTC), réellement Prid. Kal. Mars dans le calendrier romain (pridiem calendis mars, jour 2 ou veille des calendes de mars) est le dernier jour du mois intercalaire, le second jour des calendes de Mars (la calende est le premier jour, le lendemain), et le dernier jour de l'année ayant utilisé l'ancien calendrier romain républicain (cependant les jours des mois continuent à être comptés inclusivement en jours avant les ides ou nones du mois en cours ou avant les calendes du mois suivant, et l'année romaine commence toujours en mars suivant la tradition).
• le 1^er mars an 44 av. J.-C. (-43 UTC) : aucun écart avec le calendrier grégorien proleptique, début de la première année romaine utilisant entièrement le nouveau calendrier julien. Jules César supprime définitivement, pour la nouvelle année, 11 jours du mois intercalaire de l’ancien calendrier romain républicain et les répartit équitablement à la fin de tous les mois de l'année, le mois de janvier est définitivement placé, et le reste du mois intercalaire est intégré au douzième mois (février) ; les deux nouveaux mois sont dédiés aux divinités ; les mois alternent 31 et 30 jours depuis mars (mois long), sauf février (mois court, de 29 jours quand il n’est pas bissextile, 30 jours quand il l’est normalement tous les 4 ans). L’année passe à 365 jours (ou 366 les années bissextiles). La tradition (erronée) du nouvel an continuera à être célébrée en mars, de même que la tradition des semaines « marchandes » de 8 jours, mais les années sont maintenant comptées depuis janvier (ces traditions païennes, héritées du paganisme romain parfois en oubliant que l’année avait historiquement commencé en janvier même dans la république romaine, ou à d’autres mois suivant les consuls romains en place, seront bannies au Premier concile chrétien de Nycée).
• le 15 mars an 44 av. J.-C. (-43 UTC), Jules César est assassiné le jour des ides de mars c’est-à-dire quelques jours après que son calendrier ait produit ses premiers changements effectifs, malheureusement il emporte sa connaissance du calendrier et ses astronomes conseillers ne seront pas consultés pour faire appliquer correctement le calendrier julien (qui dès lors sera considéré comme proleptique jusqu’à la fin de la réforme d’Auguste). Ce jour du calendrier romain correspond au 14 mars dans le calendrier julien actuel, sans doute parce que la nouvelle règle édictée quelques jours plus tôt par César n’était pas encore connue, ce jour ayant été rapporté comme celui des ides suivant l’ancien calendrier romain républicain.

• Cependant, les pontifes succédant à César au début du Consulat puis de l’Empire d’Auguste, appliqueront (durant 36 ans) douze années bissextiles au lieu de neuf, le calendrier romain cumulera un retard de 3 jours en l’an 12 av. J.-C. (-11 UTC), dernière année bissextile calculée avec erreur sur les règles du calendrier des pontifes romain, jusqu’à ce que le nouvel empereur Auguste amorce une correction qui s’achèvera à l’ère chrétienne :

• le 1^er mars en 41 av. J.-C. (-40 UTC) : bissextile dans le calendrier julien, et la majeure partie de l’empire applique la veille le jour épagonyme. Il n’y a pas encore de décalage cette année-là ni les 2 années suivantes avec le calendrier julien proleptique partout dans l’empire (l’écart avec le calendrier grégorien proleptique est de 2 jours). On notera que c'est la quatrième année du cycle, mais seulement le début de la troisième année du calendrier romain (d’où une source supplémentaire de confusion plus tard).

• le 1^er mars en 38 av. J.-C. (-37 UTC) : les pontifes désignés par le nouvel empereur Auguste se trompent dans l’interprétation du calendrier de César et créent des années bissextiles tous les 3 ans au lieu de tous les 4 ans, dans différents régions de l’Empire romain, ou se trompent même dans l’origine du cycle à certains endroits ; le calendrier julien n’est donc plus correct, ni équivalent partout (il n’y avait pourtant pas d’erreur dans le calendrier laissé par Jules César). Aussi l’an 38 av. J.-C. (-37 UTC) est déclaré bissextile au lieu de l’an suivant, et donc les calendes de mars (en février) comptaient un jour épagonyme (les Romains comptaient toujours inclusivement à partir de 1, il n’y avait pas de zéro : les cycles calendaires romains étaient comptés inclusivement et comptaient par exemple des semaines de 8 jours complets, qu’ils considéraient et nommaient comme des cycles de 9 jours ; c’est une cause possible de cette erreur d’interprétation du calendrier de Jules César... erreur qu’on peut commettre aussi facilement aujourd’hui quand on numérote ou compte les années de l’ère préchrétienne !) À partir de cette date, le calendrier romain appliqué n’est donc plus le calendrier julien, et le calendrier recommence à se décaler car les années comptent 365¹/₃ jours en moyenne et non 365,25 selon le calendrier julien. Le calendrier romain, avec ses années trop longues, recommence à prendre du retard sur l’année solaire, de différentes façons dans l’Empire.
• le 1^er juillet an 38 av. J.-C. (-37 UTC) : Quintilis (le cinquième mois de l’année, qui commence encore en mars) est renommé Julius (juillet) en l’honneur de Jules César par Auguste son successeur pour sa contribution au calendrier romain. Ce mois est déjà un mois long de 31 jours (qui donne une journée de célébration de plus dans les jours précédant les calendes, jours portant maintenant tous le nom de Julius). Ce mois long est choisi car c’est le premier non dédié à une divinité paganiste. Cela ne change pas fondamentalement le calendrier : on a encore le décalage des années bissextiles dès l'année suivante...

• le 1^er mars an 37 av. J.-C. (-36 UTC) : non bissextile dans le calendrier romain, bissextile dans le calendrier julien, on a maintenant 2 jours de retard dans le calendrier romain sur le calendrier julien (aucun sur le calendrier grégorien proleptique).

• le 1^er mars an 35 av. J.-C. (-34 UTC) : bissextile dans le calendrier romain, non bissextile dans le calendrier julien, on a maintenant 1 jour de retard dans le calendrier romain sur le calendrier julien (1 jour d’avance sur le calendrier grégorien proleptique).

• le 1^er mars an 33 av. J.-C. (-32 UTC) : non bissextile dans le calendrier romain, bissextile dans le calendrier julien, on a maintenant 2 jours de retard dans le calendrier romain sur le calendrier julien (aucun sur le calendrier grégorien proleptique).

• le 1^er mars an 32 av. J.-C. (-31 UTC) : bissextile dans le calendrier romain, non bissextile dans le calendrier julien, on a maintenant 1 jour de retard dans le calendrier romain sur le calendrier julien (1 jour d’avance sur le calendrier grégorien proleptique).

• le 1^er mars an 29 av. J.-C. (-28 UTC) : bissextile dans le calendrier romain et dans le calendrier julien, on a toujours 1 jour de retard dans le calendrier romain sur le calendrier julien (1 jour d’avance sur le calendrier grégorien proleptique).

• le 1^er mars an 26 av. J.-C. (-25 UTC) : bissextile dans le calendrier romain, non bissextile dans le calendrier julien, on a maintenant 2 jours de retard dans le calendrier romain sur le calendrier julien (aucun sur le calendrier grégorien proleptique).

• le 1^er mars an 25 av. J.-C. (-24 UTC) : non bissextile dans le calendrier romain, bissextile dans le calendrier julien, on a maintenant 1 jour de retard dans le calendrier romain sur le calendrier julien (1 jour d’avance sur le calendrier grégorien proleptique).

• le 1^er mars an 23 av. J.-C. (-22 UTC) : bissextile dans le calendrier romain, non bissextile dans le calendrier julien, on a maintenant 2 jours de retard dans le calendrier romain sur le calendrier julien (aucun sur le calendrier grégorien proleptique).

• le 1^er mars an 21 av. J.-C. (-20 UTC) : non bissextile dans le calendrier romain, bissextile dans le calendrier julien, on a maintenant 1 jour de retard dans le calendrier romain sur le calendrier julien (1 jour d’avance sur le calendrier grégorien proleptique).

• le 1^er mars an 20 av. J.-C. (-19 UTC) : bissextile dans le calendrier romain, non bissextile dans le calendrier julien, on a maintenant 2 jours de retard dans le calendrier romain sur le calendrier julien (aucun sur le calendrier grégorien proleptique).

• le 1^er mars an 17 av. J.-C. (-16 UTC) : bissextile dans le calendrier romain et dans le calendrier julien, on a toujours 2 jours de retard dans le calendrier romain sur le calendrier julien (aucun sur le calendrier grégorien proleptique).

• le 1^er mars an 14 av. J.-C. (-13 UTC) : bissextile dans le calendrier romain, non bissextile dans le calendrier julien, on a maintenant 3 jours de retard dans le calendrier romain sur le calendrier julien (1 jour de retard sur le calendrier grégorien proleptique).

• le 1^er mars an 13 av. J.-C. (-12 UTC) : non bissextile dans le calendrier romain, bissextile dans le calendrier julien, on a maintenant 2 jours de retard dans le calendrier romain sur le calendrier julien (aucun sur le calendrier grégorien proleptique).

• en 12 av. J.-C. (-11 UTC), année non bissextile dans tous les calendriers : l’empereur Auguste devient lui-même grand pontife, responsable du calendrier.

• le 1^er mars an 11 av. J.-C. (-10 UTC) : bissextile dans le calendrier romain, non bissextile dans le calendrier julien, on a maintenant 2 jours de retard dans le calendrier romain sur le calendrier julien (aucun sur le calendrier grégorien proleptique).

• le 1^er mars an 9 av. J.-C. (-8 UTC) : non bissextile dans le calendrier romain, bissextile dans le calendrier julien, on a maintenant 3 jours de retard dans le calendrier romain sur le calendrier julien (1 jour de retard sur le calendrier grégorien proleptique).

• On constate cette année-là que l’équinoxe vernale a lieu à plus de 2 jours d’écart du 21 mars, mais aucune correction n’est apportée car on ne l’explique pas encore. Auguste constate rapidement les erreurs commises auparavant par les pontifes qui l’ont précédé alors qu’il était déjà consul puis empereur. Il demande aux astrologues de consulter les textes laissés par les anciens conseillers de Jules César, afin d’en trouver la cause et trouver une solution de correction.

• en 8 av. J.-C. (-7 UTC), c’est la dernière année bissextile appliquée avec la règle triennale dans le calendrier romain, non bissextile dans le calendrier julien, on a maintenant 2 jours de retard dans le calendrier romain sur le calendrier julien (aucun sur le calendrier grégorien proleptique).

• Auguste décide de rétablir la synchronisation sur l’année tropique solaire moyenne, et de revenir progressivement au calendrier julien en cessant temporairement d’appliquer 3 années bissextiles triennales successives (qui, autrement, se seraient appliquées suivant la règle erronée triennale en 5 av. J.-C., 2 av. J.-C. et 2 ap. J.-C.), ce qui permettrait de regagner progressivement les 3 jours cumulés de retard du calendrier romain sur le cycle solaire, marqué par le passage du Soleil dans le plan de l’écliptique géocentrique lors de l’équinoxe vernale au printemps, le 21 mars à plus ou moins 2 jours au maximum (ce cycle solaire était encore estimé à 365,25 jours, et c’est le fait que l’équinoxe vernale a été constatée plus tôt à près de 3 jours d’écart avec le 21 mars moyen théorique, donc hors de cet intervalle de tolérance calendaire, qui a conduit à l’abolition par Auguste du cycle triennal erroné des années bissextiles) :

• en 5 av. J.-C. (-4 UTC), année qui aurait dû être bissextile avec la règle triennale mais ne l’est plus dans le calendrier romain temporaire d’Auguste, bissextile dans le calendrier julien (ou grégorien), on a maintenant 1 jour de retard dans le calendrier romain sur le calendrier julien (1 jour d’avance sur le calendrier grégorien proleptique).

• en 2 av. J.-C. (-1 UTC), année qui aurait dû être bissextile avec la règle triennale mais ne l’est plus dans le calendrier romain temporaire d’Auguste, non bissextile dans le calendrier julien (ou grégorien), on a encore 1 jour de retard dans le calendrier romain sur le calendrier julien (1 jour d’avance sur le calendrier grégorien proleptique).

• le 1^er mars an 1 av. J.-C. (0 UTC) : c’est la dernière année du I^er millénaire av. J.-C., année non bissextile dans le calendrier romain temporaire d’Auguste, bissextile dans le calendrier julien (ou grégorien), on n’a aucun jour de retard dans le calendrier romain sur le calendrier julien (2 jours d’avance sur le calendrier grégorien proleptique), mais le calendrier julien n’est pas encore applicable car il reste encore une année bissextile à supprimer.

• À la naissance du Christ, en décembre 1 av. J.-C. (0 UTC) selon la tradition chrétienne, le calendrier romain temporaire d’Auguste correspond au calendrier julien, mais le calendrier julien n’est pas encore applicable car il reste encore une année bissextile triennale à supprimer selon Auguste (le calendrier romain ou julien a toujours 2 jours d’avance sur le calendrier grégorien proleptique, jours qui s’expliquent près de 16 siècles plus tard lors de l’instauration du calendrier grégorien en 1582).

• en 2 av. J.-C. (2 UTC), année qui aurait dû être bissextile avec la règle triennale mais ne l’est plus dans le calendrier romain temporaire d’Auguste, également non bissextile dans le calendrier julien (ou grégorien), le calendrier romain temporaire d’Auguste correspond encore au calendrier julien, le calendrier julien devient aussi applicable (le calendrier romain ou julien a toujours 2 jours d’avance sur le calendrier grégorien proleptique).

• le 23 février an 4 ap. J.-C. est le dernier jour où le calendrier romain temporaire d’Auguste est utilisé. Auguste rétablit les années bissextiles suivant la règle quadriennale telle qu’elle aurait eu lieu suivant le calcul édicté par Jules César.
• le 24 février an 4 ap. J.-C. est donc bissextile conformément au calendrier julien (il ne l’aurait pas été avec l’ancienne règle triennale abrogée 12 ans plus tôt, où l’année bissextile aurait été la suivante). Le calendrier romain temporaire d’Auguste est définitivement abandonné, et l’empereur Auguste décrète la règle dans l’empire.

• le 1^er mars an 4 : le calendrier julien est applicable, et donc un jour épagomène sera ajouté au mois de février précédent (la dernière année bissextile a eu lieu en l’an 8 av. J.-C., 11 ans plus tôt), à compter de cette date tous les 4 ans dans les jours précédents en février (le calendrier julien conserve 2 jours d’avance sur le calendrier grégorien proleptique).

• le 1^er mars an 8 : année bissextile précédée d’un jour épagomène (le calendrier julien conserve 2 jours d’avance sur le calendrier grégorien proleptique) ; le calendrier julien est modifié, et Auguste immortalise voit son nom Augustus (août) attribué au mois de Sextilis (30 jours) juste après le mois de Julius (juillet) déjà attribué à Jules César (31 jours). Pour avoir le même nombre de jours que lui, il donne 31 jours à ce mois, et permute les longueurs des 4 mois après le mois d’août pour éviter 3 mois longs successifs, mais pour conserver le nombre de jours dans l’année, il prend le jour supplémentaire ajouté à août en le retirant de février (qui passe de 29 ou 30 jours à 28 ou 29 jours) :
• à cause de ce jour déplacé, avant l’an 8, le calendrier julien (utilisable depuis l’an 1 av. J.-C.), ainsi que le calendrier romain temporaire d’Auguste et le calendrier romain triennal postérieur à la mort de César (ainsi que les premières années du calendrier julien instauré par Jules César en 44 av. J.-C.), avaient tous un retard supplémentaire d’un jour avec le calendrier grégorien lors de tous les mois de septembre et novembre avec leur ancienne longueur.

• le 1^er mars an 12 : cette année est la troisième année bissextile suivant la règle julienne quadriennale (le calendrier julien conserve 2 jours d’avance sur le calendrier grégorien proleptique), règle qui s’appliquera de façon inchangée jusqu’en 1582, toutefois il faut noter deux années juliennes 100 et 200 bissextiles remarquables :

• le 1^er mars an 100, dernière année du I^er siècle : année bissextile dans le calendrier julien, mais pas dans le calendrier grégorien proleptique (année séculaire ordinaire) ; le calendrier julien applique 1 journée épagomène en fin février (le calendrier julien conserve encore 1 jour d’avance sur le calendrier grégorien proleptique).

• le 1^er mars an 200, dernière année du II^e siècle : année bissextile dans le calendrier julien, mais pas dans le calendrier grégorien proleptique (année séculaire ordinaire) ; le calendrier julien applique 1 journée épagomène en fin février. Le calendrier julien n’a plus aucun écart avec le calendrier grégorien proleptique, les deux calendriers sont remarquablement équivalents à partir de cette date pendant pratiquement tout le III^e siècle.

• le 1^er mars an 300, dernière année du III^e siècle : année bissextile dans le calendrier julien, mais pas dans le calendrier grégorien proleptique (année séculaire ordinaire) ; le calendrier julien applique 1 journée épagomène en fin février (le calendrier julien retarde maintenant d’un jour sur le calendrier grégorien proleptique).

• le 21 mars an 325 : au premier concile de Nicée, l’équinoxe vernale est un 21 mars dans le calendrier julien, c’est la date de référence choisie plus tard en 1582 pour le futur calendrier grégorien, donc l’écart est inférieur à un jour entre le calendrier julien et l’équinoxe vernale solaire réelle, cependant le calendrier julien conserve pour cette date un retard d’un jour sur le calendrier grégorien proleptique, mais est plus proche ainsi de l’équinoxe vernale réelle qui a été observée en 325 le matin et non l’après-midi.

• le 1^er mars an 400, dernière année du IV^e siècle : année bissextile dans le calendrier julien comme dans le calendrier grégorien proleptique (année quadriséculaire) ; l’écart entre les deux calendriers est inchangé (le retard du calendrier julien reste à 1 jour).
• le 1^er mars an 500, dernière année du V^e siècle : année bissextile dans le calendrier julien, mais pas dans le calendrier grégorien proleptique (année séculaire ordinaire) ; le calendrier julien applique 1 journée épagomène en fin février (le calendrier julien retarde maintenant de 2 jours sur le calendrier grégorien proleptique).
• le 1^er mars an 600 : idem (le retard passe à 3 jours).
• le 1^er mars an 700 : idem (le retard passe à 4 jours).

• le 1^er mars an 800, dernière année du VIII^e siècle : année bissextile (année quadriséculaire) ; (le retard du calendrier julien reste à 4 jours).
• le 1^er mars an 900 : année bissextile dans le calendrier julien, mais pas dans le calendrier grégorien proleptique (année séculaire ordinaire) ; (le retard passe à 5 jours).
• le 1^er mars an 1000 : idem (le retard passe à 6 jours).
• le 1^er mars an 1100 : idem (le retard passe à 7 jours).

• le 1^er mars an 1200, dernière année du XII^e siècle : année bissextile (année quadriséculaire) ; (le retard du calendrier julien reste à 7 jours).
• le 1^er mars an 1300 : année bissextile dans le calendrier julien, mais pas dans le calendrier grégorien proleptique (année séculaire ordinaire) ; (le retard passe à 8 jours).
• le 1^er mars an 1400 : idem (le retard passe à 9 jours).
• le 1^er mars an 1500 : idem (le retard passe à 10 jours).

• le 4 octobre 1582 : c’est le dernier jour du calendrier julien non proleptique, il y a 10 jours de retard sur le cycle solaire écliptique selon la règle calculée d’après l’équinoxe vernale constatée au concile de Nicée.
• le 15 octobre 1582 : 10 jours sont amputés du mois dans le calendrier grégorien qui est alors instauré à cette date (car à cette date il s’est écoulé pratiquement 13 siècles depuis le concile de Nicée en 325). La veille était le 4 octobre dans le calendrier julien, qui restera pourtant encore longtemps encore en vigueur dans de nombreux pays protestants et orthodoxes d’Europe.
• le 1^er janvier 1583 : l’année grégorienne 1583 commence officiellement en janvier au lieu de mars (l’année 1582 est amputée de ses deux derniers mois dans les pays qui avaient encore appliqué la tradition du nouvel an en mars, mais la succession des noms des 12 mois de l’année n’est pas modifiée pour ceux qui avaient encore cette ancienne tradition julienne avant le passage au calendrier grégorien).

• le 1^er mars an 1600, dernière année du XVI^e siècle : année bissextile dans le calendrier julien, comme dans le calendrier grégorien (année quadriséculaire) ; (le retard du calendrier julien reste à 10 jours).
• le 1^er mars an 1700 : année bissextile dans le calendrier julien, mais pas dans le calendrier grégorien (année séculaire ordinaire); (le retard passe à 11 jours).
• le 1^er mars an 1800 : idem (le retard passe à 12 jours). Au cours du XIX^e siècle la majeure partie des pays qui utilisaient encore le calendrier julien l’abandonnent définitivement pour le calendrier grégorien, en sautant 12 jours dans leur calendrier civil, ou bien l’adoptent à la place d’autres calendriers (notamment avec l’expansion des empires européens).
• le 1^er mars an 1900 : idem (le retard passe à 13 jours). Au cours du XX^e siècle les derniers pays qui utilisaient encore le calendrier julien l’abandonnent définitivement (il reste encore en vigueur aujourd’hui, mais uniquement pour l’usage liturgique orthodoxe), en sautant 13 jours dans leur calendrier civil.

• le 1^er mars an 2000, dernière année du XX^e siècle : année bissextile à la fois dans l’ancien calendrier julien et le calendrier grégorien actuel (année quadriséculaire) ; (le retard du calendrier julien reste à 13 jours, c’est l’écart actuel).

On définit une fonction ${\displaystyle f(n)=E(365,25*n)-E(n/100)+E(n/400)}$ où n est une année donnée et ${\displaystyle E()}$ est la partie entière, dans ce cas nb le nombre de jours dans l'année n sera ${\displaystyle nb=f(n)-f(n-1)}$

• Algorithme du jour du Jugement dernier

• Algorithmes de conversion entre date grégorienne et jour julien
  • Attention, ces algorithmes utilisent une arithmétique non entière et ont des limites, contrairement aux formules ci-dessus qui n'emploient qu'une arithmétique entière modulaire toujours exacte, très rapide, et sans nécessiter aucun test.