Algorithme du jour du Jugement dernier

Les jours de la semaine sont caractérisés par les nombres de 0 à 6 : 0 pour dimanche, 1 pour lundi, 2 pour mardi, 3 pour mercredi, 4 pour jeudi, 5 pour vendredi et 6 pour samedi.

John Conway suggère de penser les jours de la semaine comme étant « Noneday » ou « Sansday » (pour dimanche, jour 0), « Oneday », « Twosday », « Treblesday », « Foursday », « Fiveday », et « Six-a-day ». Il y a des langues, comme le portugais et le galicien[N 1], qui fondent le nom des jours sur leur position dans la semaine. En français, on peut évoquer "L'un di" pour se rappeler que le nombre un correspond au lundi.

• Le 4 janvier les années bissextiles, le 3 janvier les années communes.
• 0/3 : 0 mars, le dernier jour de février.
• 4/4 : 4 avril.
• 6/6 : 6 juin.
• 8/8 : 8 août.
• 10/10 : 10 octobre.
• 12/12 : 12 décembre.
• 9/5 et 5/9 : 9 mai et 5 septembre.
• 11/7 et 7/11 : 11 juillet et 7 novembre.
• Les années bissextiles: 11/1 et 22/2., 11 janvier et 22 février. En année commune, il faut reculer d'une unité, on obtient alors 10/1 et 21/2.

Pour se rappeler le premier jour pivot, John Conway suggère la phrase: "le 3 les 3 premières années, le 4 la 4^e année" (s'agissant du cycle de quatre années finissant par l'année bissextile).

Pour se rappeler les jours des mois impairs de mai à novembre, John Conway suggère la phrase : "Je travaille de 9 heures à 5 heures au Seven Eleven."

Le jour clé de l'année actuelle (2023) est mardi. Celui de l'année prochaine (2024) est jeudi .

Avec l'habitude, chacun peut situer les dates importantes pour soi par rapport au jour clé. Par exemple:

• la Saint-Valentin (déjà citée) tombe le jour clé en année commune, la veille du jour clé en année bissextile,
• le 1er et le 8 mai tombent la veille du jour clé,
• le 14 juillet tombe 3 jours après,
• le 15 août, déjà cité, tombe le jour clé,
• le 11 novembre tombe 4 jours après,
• Noël tombe la veille du jour clé, et il en est de même pour le jour de l'an suivant.

L'année A, réputée positive, est décomposée en siècle et partie infraséculaire :

A = S + X, où 0 ≤ X < 100.

Le cycle des dates et des jours de semaine du calendrier grégorien se reproduit à l'identique tous les 4 siècles. Il suffit donc de retenir les rangs de jour clé correspondant aux restes de la division du rang de siècle par 4.

On observe que la balise diminue de 2 modulo 7 chaque siècle à l'intérieur du cycle. En revanche, elle ne diminue que d'une unité lors d'une année multiple de 400, comme l'an 2000.

Si par exemple l'on cherche le jour de semaine du décès de Cervantès, le 23 avril 1616 du calendrier grégorien, la balise de siècle est 2.

Chaque siècle, la balise diminue d'une unité modulo 7. Au I^er siècle, c'est-à-dire au siècle de rang 0, la balise est 0. Donc la balise du siècle de rang S est (-S) mod 7.

Si par exemple l'on cherche le jour de semaine du décès de Shakespeare, le 23 avril 1616 du calendrier julien, la balise de siècle est (-16) mod 7, c'est-à-dire (-2) mod 7, soit 5.

John Conway décompose la partie infraséculaire du siècle en base 12, puis compte le nombre d'années bissextiles dans le reste de cette division.

X = 12 * Z + R, où 0 ≤ R < 12.

B = R div 4

Le jour clé de l'année est la somme (jour_balise + Z + R + B) modulo 7.

Cette méthode fonctionne parce que, à l'intérieur d'un siècle, le jour clé augmente d'un jour en douze ans, d'un jour chaque année, et d'un jour supplémentaire chaque année bissextile.

Ainsi pour 1616 grégorien, le jour clé est : 2 (balise de siècle) + 1 (16 div 12) + 4 (reste de la division précédente) + 1 (nombre d'années bissextiles entre 12 et 16) = 8 mod 7 = 1, lundi.

Et pour 1616 julien, le jour clé est : 5 (balise de siècle) + 1 + 4 + 1 = 11 mod 7 = 4, jeudi.

John Conway suggère de placer mentalement les quatre termes de la formule sur les quatre derniers doigts d'une main, puis de calculer le somme en plaçant successivement son pouce sur ces quatre doigts.

On cherche ensuite un jour pivot dans le mois de la date cherchée. Par exemple, pour le 23 avril, le jour pivot est le 4 avril.

Ce jour pivot tombe le jour clé de l'année. Il suffit alors de chercher le jour de semaine de la date cherchée par différence avec le jour pivot.

Exemples :

• En calendrier grégorien, le jour-clé de 1616 est lundi, donc le 4 avril tombe lundi, le 25 avril aussi, et le 23 avril 1616 est donc samedi, jour du décès de Cervantès.
• En calendrier julien, le jour clé de 1616 est jeudi, le 4 avril tombe donc jeudi, de même le 25 avril, et le 23 avril 1616 est mardi, jour du décès de Shakespeare.

Cette gymnastique est aisée pour tous ceux qui peuvent déduire mentalement le jour de semaine d'une date d'un mois connaissant le jour de semaine d'une autre date du même mois.

La méthode 11 sur impair — appelée en anglais Odd + 11 — est une variante pour le calcul de la partie infraséculaire, c'est-à-dire les trois derniers doigts de la méthode originale de Conway. Elle a été publiée par Chamberlain Fong and Michael K. Walters[6] au 7^e Congrès International de Mathématiques Industrielles et Appliquées (7th International Congress on Industrial and Applied Mathematics (2011)).

L'intérêt de cette méthode est de remplacer les calculs de Z, R et B supra par une suite de deux opérations très simples.

En calcul mental, on cherche à évaluer T, le jour-clé recherché, de la manière suivante:

• Soit T la partie infraséculaire de l'année (les deux derniers chiffres)
• Si T est impair, lui ajouter 11 : T = T + 11.
• Diviser T par 2 : T = T/2
• Si T est impair, ajouter 11 : T = T + 11
• Rechercher le reste de la division de -T par 7 : T = (-T) mod 7.
• Ajouter la balise de siècle pour obtenir le jour clé de l'année, modulo 7.

Reprenons notre exemple de 1616. On considère 16, la partie infraséculaire.

• T = 16
• 16 est pair, on ne fait rien.
• 16 div 2 → 8.
• 8 est pair, on ne fait rien.
• (-8) mod 7 → 6
• Ajouter 6 à la balise de siècle et prendre le résultat modulo 7.

Avec le calendrier grégorien, il vient 2 + 6 = 8 = 1 mod 7, lundi.

Avec le calendrier julien, il vient 5 + 6 = 11 = 4 mod 7, jeudi.

Les valeurs pour lesquelles on cherche le reste de la division par 7 sont toujours inférieures à 70, en sorte qu'il suffit de chercher dans la table de multiplication par 7 la différence entre T et le produit immédiatement supérieur ; dans l'exemple ci-dessus, on compare 8 à 14 pour obtenir 6. C'est la seule partie délicate de la méthode.

John Conway suggère de connaître par cœur les balises de siècles de 1900 (3) et 2000 (2), pour couvrir rapidement les cas les plus courants.

• 18 est pair, → 18.
• 18 div 2 → 9.
• 9 est impair, donc 9+11 → 20.
• 20 = 3*7 - 1, donc il faut retenir 1.
• Le jour clé de 1918 est donc 3 + 1 → 4, soit jeudi.
• Le 7 novembre 1918, jour pivot, est un jeudi, et le 11 novembre, 4 jours plus tard, un lundi.

• 99 est impair, donc 99 + 11 → 110.
• 110 div 2 → 55.
• 55 est impair, donc 55 + 11 → 66.
• 66 = 10*7 - 4, donc on retient 4.
• Le jour clé de 1999 est donc 3+4 = 7 → 0, dimanche.
• Le 8 août 1999, jour pivot, est dimanche, le 11 août 1999 est mercredi.

• 26 est pair, → 26
• 26 div 2 → 13
• 13 est impair, donc 13 + 11 → 24
• 24 = 4*7 -4 → 4
• Le jour clé de 2026 est donc 2 + 4 → 6, soit samedi.
• Le dernier jour de février, jour pivot, est le 28 (année commune), c'est un samedi, le 14 février aussi, donc le 17 février 2026 est un mardi.

• 52 est pair, → 52.
• 52 div 2 → 26.
• 26 est pair → 26.
• 26 = 4*7 - 2, donc → 2
• La balise de siècle de 1700 grégorien est 0, donc le jour clé de 1752 grégorien est 0 + 2, mardi.
• Le 5 septembre 1752 grégorien, jour pivot, est un mardi, le 14 septembre 1752 grégorien est alors jeudi.

• La partie infraséculaire est la même que précédemment, 2.
• La balise de siècle est (-17) mod 7 → 4
• Le jour clé de 1752 julien est 2 + 4 → 6, samedi.
• Le 5 septembre 1752 julien, jour pivot, est un samedi, le 2 septembre 1752 julien est mercredi, veille du jeudi 14 septembre grégorien.

• John Horton Conway, « Tomorrow is the Day After Doomsday », Eureka, vol. 36,‎ octobre 1973, p. 28-31
• (en) Richard Guy, John Horton Conway et Elwyn Berlekamp, Winning Ways : For Your Mathematical Plays, vol. 2, Londres, Academic Press, 1982 (ISBN 978-0-12-091102-8)
• (en) Lewis Carroll, « To Find the Day of the Week for Any Given Date », Nature,‎ 31 mars 1887 (DOI 10.1038/035517a0)
• (en) Martin Gardner, The Universe in a Handkerchief: Lewis Carroll's Mathematical Recreations, Springer-Verlag, coll. « Games, Puzzles, and Word Plays », 1996
• (en) Mark Alpert, « Not Just Fun and Games », Scientific American,‎ avril 1999 (DOI 10.1038/scientificamerican0499-40)
• (gl) Dicionario Real Academia Galega (lire en ligne)