Formule d'Abel-Plana

En mathématiques, la formule d'Abel-Plana est une formule de sommation découverte indépendamment par Niels Henrik Abel (en 1823) et Giovanni Antonio Amedeo Plana (en 1820). Elle établit que [1]

\sum _{n=0}^{+\infty }f(a+n)=\int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x+{\frac {f(a)}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {f(a-\mathrm {i} x)-f(a+\mathrm {i} x)}{\mathrm {i} \left(\mathrm {e} ^{2\pi x}-1\right)}}\mathrm {d} x

Pour le cas $a=0$ on a :

\sum _{n=0}^{\infty }f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+\int _{0}^{+\infty }f(x)\,\mathrm {d} x+\mathrm {i} \int _{0}^{+\infty }{\frac {f(\mathrm {i} t)-f(-\mathrm {i} t)}{\mathrm {e} ^{2\pi t}-1}}\,\mathrm {d} t.

Cette formule est vraie pour les fonctions ƒ qui sont holomorphes dans la région Re(z) ≥ 0, et satisfaire une condition de croissance appropriée dans cette région ; par exemple, il suffit de supposer que $| ƒ |$ est borné par $C /| z | 1+ ε$ dans cette région pour certaines constantes C, ε > 0, bien que la formule soit également valable sous des limites beaucoup plus faibles (Olver 1997, p.290).

Un exemple est fourni par la fonction zêta de Hurwitz :

\zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^{s}}}={\frac {\alpha ^{1-s}}{s-1}}+{\frac {1}{2\alpha ^{s}}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left(s\arctan {\frac {t}{\alpha }}\right)}{(\alpha ^{2}+t^{2})^{\frac {s}{2}}}}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {e} ^{2\pi t}-1}},

qui est vérifiée pour tout $s\in \mathbb {C} -\{1\}$ .

Abel a également donné la variation suivante pour les séries alternées :

\sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+\mathrm {i} \int _{0}^{+\infty }{\frac {f(\mathrm {i} t)-f(-\mathrm {i} t)}{2\sinh(\pi t)}}\,\mathrm {d} t,

qui est lié à la formule de sommation de Lindelöf [2]

\sum _{k=m}^{+\infty }(-1)^{k}f(k)=(-1)^{m}\int _{-\infty }^{+\infty }f\left(m-{\frac {1}{2}}+\mathrm {i} x\right){\frac {\mathrm {d} x}{2\cosh(\pi x)}}.

Preuve

Soit $f$ holomorphe sur $\Re (z)\geq 0$ , tel que $f(0)=0$ , on a $f(z)=O(|z|^{k})$ et pour $\operatorname {arg} (z)\in ]-\beta ,\beta [$ , on a $f(z)=O(|z|^{-1-\delta })$ . On prend $a=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \beta /2}$ avec le théorème des résidus

\int _{a^{-1}\infty }^{0}+\int _{0}^{a\infty }{\frac {f(z)}{\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi z}-1}}\,\mathrm {d} z=-2\mathrm {i} \pi \sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {Res} _{z=n}\left({\frac {f(z)}{\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi z}-1}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }f(n).

Alors

{\begin{aligned}\int _{a^{-1}\infty }^{0}{\frac {f(z)}{\mathrm {e} ^{-2i\pi z}-1}}\,\mathrm {d} z&=-\int _{0}^{a^{-1}\infty }{\frac {f(z)}{\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi z}-1}}\,\mathrm {d} z\\&=\int _{0}^{a^{-1}\infty }{\frac {f(z)}{\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi z}-1}}\,\mathrm {d} z+\int _{0}^{a^{-1}\infty }f(z)\,\mathrm {d} z\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(a^{-1}t)}{\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi a^{-1}t}-1}}\,\mathrm {d} (a^{-1}t)+\int _{0}^{\infty }f(t)\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}

En utilisant le théorème intégral de Cauchy pour la dernière intégrale

\int _{0}^{a\infty }{\frac {f(z)}{\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi z}-1}}\,\mathrm {d} z=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(at)}{\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi at}-1}}\,\mathrm {d} (at),

obtenant ainsi

\sum _{n=0}^{\infty }f(n)=\int _{0}^{\infty }\left(f(t)+{\frac {a\,f(at)}{\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi at}-1}}+{\frac {a^{-1}f(a^{-1}t)}{\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi a^{-1}t}-1}}\right)\,\mathrm {d} t.

Cette identité reste vraie par prolongement analytique partout où l'intégrale converge, donc en faisant tendre $a\to \mathrm {i}$ on obtient la formule d'Abel-Plana

\sum _{n=0}^{\infty }f(n)=\int _{0}^{\infty }\left(f(t)+{\frac {\mathrm {i} \,f(\mathrm {i} t)-\mathrm {i} \,f(-\mathrm {i} t)}{\mathrm {e} ^{2\pi t}-1}}\right)\,\mathrm {d} t.

Le cas ƒ (0) ≠ 0 s'obtient de manière similaire en remplaçant ${\textstyle \int _{a^{-1}\infty }^{a\infty }{\frac {f(z)}{\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi z}-1}}\,\mathrm {d} z}$ par deux intégrales le long des mêmes courbes avec un petit écart à gauche et à droite de 0.

Lien avec la formule d'Euler-Maclaurin

En développant sous forme de série entière le terme ${\textstyle {\frac {1}{{\rm {e}}^{2\pi z}-1}}}$ dans l'intégrande, on peut retrouver la formule d'Euler-Maclaurin.

Applications

La formule d'Abel-Plana a été utilisée comme alternative à la formule d'Euler-Maclaurin dans le calcul de séries divergentes, notamment celles apparaissant dans l'électrodynamique quantique[3].

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Abel–Plana formula » (voir la liste des auteurs).

Charles Hermite, « Extrait de quelques lettres de M. Ch. Hermite à M. S. Píncherle », Annali di Matematica Pura ed Applicata, vol. III, n^o 5,‎ 1901, p. 57–72
Gradimir V. Milovanovic, « Summation Formulas of Euler-Maclaurin and Abel-Plana: Old and New Results and Applications »
(en) Aram A. Saharian, « The generalized Abel-Plana formula with applications to Bessel functions and Casimir effect », preprint,‎ 2000 (DOI 10.48550/arXiv.0708.1187)

N. H. Abel, Solution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies, 1823
(en) P. L. Butzer, P. J. S. G. Ferreira, G. Schmeisser et R. L. Stens, « The summation formulae of Euler–Maclaurin, Abel–Plana, Poisson, and their interconnections with the approximate sampling formula of signal analysis », Results in Mathematics, vol. 59, n^o 3,‎ 2011, p. 359–400 (ISSN 1422-6383, DOI 10.1007/s00025-010-0083-8, MR 2793463, S2CID 54634413)
(en) Frank William John Olver, Asymptotics and special functions, Wellesley, MA, A K Peters Ltd., coll. « AKP Classics », 1997 (1^re éd. 1974) (ISBN 978-1-56881-069-0, MR 1429619)
G. A. A. Plana, « Sur une nouvelle expression analytique des nombres Bernoulliens, propre à exprimer en termes finis la formule générale pour la sommation des suites », Mem. Accad. Sci. Torino, vol. 25,‎ 1820, p. 403–418
(en) Jonathan Dowling, « The Mathematics of the Casimir effect », février 1987

Liens externes

(en) David Anderson, « Abel-Plana Formula », sur MathWorld
(en) (en) F. W. J. Olver et R. Wong, « Sums and Sequences », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)

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