Fonction univalente

Toute transformation de Möbius ${\displaystyle \phi _{a}}$ d'un disque unitaire ouvert dans lui-même, ${\displaystyle \phi _{a}(z)={\frac {z-a}{1-{\bar {a}}z}},}$ où ${\displaystyle |a|\leq 1,}$ est univalente.

On peut démontrer que si ${\displaystyle G}$ et ${\displaystyle \Omega }$ sont deux ensembles ouverts connexes dans le plan complexe, et

${\displaystyle f:G\to \Omega }$

est une fonction univalente tel que ${\displaystyle f(G)=\Omega }$ (c'est-à-dire que ${\displaystyle f}$ est une surjection, donc une bijection), alors la dérivée de ${\displaystyle f}$ ne s'annule jamais, et la bijection réciproque de ${\displaystyle f}$, notée ${\displaystyle f^{-1}}$, est également holomorphe. De plus, d'après le théorème de dérivation des fonctions composées,

${\displaystyle (f^{-1})'(f(z))={\frac {1}{f'(z)}}}$

pour tous ${\displaystyle z}$ dans ${\displaystyle G}$

Pour les fonctions analytiques réelles, ces propriétés ne sont plus valables. Par exemple, si l'on considère la fonction

${\displaystyle f:(-1,1)\to (-1,1)\,}$

donnée par ƒ(x) = x³, cette fonction est trivialement injective. Cependant, sa dérivée vaut 0 en x = 0, et son inverse n'est ni analytique, ni même différentiable, sur l'intervalle entier (−1, 1).

• John B. Conway, Functions of One Complex Variable I, Springer-Verlag, New York, 1978 (ISBN 0-387-90328-3)
• John B. Conway, Functions of One Complex Variable II, Springer-Verlag, New York, 1996 (ISBN 0-387-94460-5).

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