Fonction maximale de Hardy-Littlewood

En mathématiques et plus particulièrement en analyse, la fonction maximale de Hardy-Littlewood est un opérateur qui associe à toute fonction localement intégrable $f$ en tout point $x$ sur ℝⁿ comme étant la borne supérieure des valeurs moyennes de $| f |$ sur les boules centrées en $x$ . La notion de fonction maximale est intervenue pour la première fois dans un article publié en 1930 par Godfrey Harold Hardy et John Edensor Littlewood[1].

Formulation

À toute fonction localement intégrable $f\in \mathrm {L} _{\text{loc}}^{1}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ on peut associer la fonction maximale de Hardy-Littlewood $Mf:\mathbb {R} ^{n}\to [0,+\infty ]$ définie par

Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{\lambda _{n}\left(B(x,r)\right)}}\int _{B(x,r)}|f(t)|\,\mathrm {d} \lambda _{n}(t)

où $B (x, r)$ désigne la boule de ℝⁿ centrée en $x$ et de rayon $r > 0$ et $λ n$ désigne la mesure de Lebesgue sur ℝⁿ.

Propriétés

La fonction maximale de Hardy-Littlewood associée à toute fonction localement intégrable est semi-continue inférieurement.

Démonstration

Il suffit de montrer que chacune des fonctions

x\mapsto {\frac {1}{\lambda _{n}\left(B(x,r)\right)}}\int _{B(x,r)}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)

(pour $r > 0$ fixé) est semi-continue inférieurement, autrement dit, que

x\mapsto \int _{B(x,r)}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)=\int 1_{B(x,r)}(t)|f(t)|\,\mathrm {d} \lambda _{n}(t)

l'est.

Or cette application est même continue, par convergence dominée.

Cette fonction $Mf$ n'est jamais intégrable, sauf si $f = 0$ . Il existe même $f$ intégrable telle que $Mf$ ne soit pas localement intégrable[2].

Inégalité maximale de Hardy-Littlewood

Pour toute application intégrable $f$ sur ℝⁿ et tout réel c > 0, on a $\lambda _{n}\left([Mf\geq c]\right)\leq 3^{n}{\frac {\|f\|_{1}}{c}}$ (donc $Mf$ est finie presque partout).
Pour toute fonction réelle croissante $F$ sur un intervalle réel $[a, b]$ on a, de façon analogue $\lambda _{1}\left([G\geq c]\right)\leq 2{\frac {F(b)-F(a)}{c}},{\text{ pour }}G(x)=\sup _{h\neq 0 \atop x+h\in [a,b]}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}.$
Pour toute fonction réelle croissante continue $F$ sur $[a, b]$ , $\lambda _{1}\left([G\geq c]\right)\leq {\frac {F(b)-F(a)}{c}},$ pour $G$ étant l'une des quatre dérivées de Dini de $F$ .

Démonstrations

Première inégalité.
Quitte à passer ensuite à la limite quand d → c^–, il suffit de montrer que $\forall d>0,\lambda _{n}\left([Mf>d]\right)\leq 3^{n}\|f\|_{1}/d$ et pour cela, par régularité intérieure, de montrer que pour tout compact $K$ inclus dans $[Mf > d]$ , $\lambda _{n}(K)\leq 3^{n}\|f\|_{1}/d.$ Pour tout point $x$ de $K$ , il existe un rayon $r x > 0$ tel que ${\frac {1}{\lambda _{n}\left(B(x,r_{x})\right)}}\int _{B(x,r_{x})}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)>d.$ Par compacité, $K$ est recouvert par un nombre fini de telles boules et l'on peut, d'après le lemme de recouvrement de Vitali dans le cas fini, choisir parmi elles des boules $\left(B(x,r_{x})\right)_{x\in X}$ disjointes telles que $K\subset \bigcup _{x\in X}B(x,3r_{x}).$ On a alors : $\lambda _{n}\left(K\right)\leq \lambda _{n}\left(\bigcup _{x\in X}B(x,3r_{x})\right)\leq \sum _{x\in X}\lambda _{n}\left(B(x,3r_{x})\right)=3^{n}\sum _{x\in X}\lambda _{n}\left(B(x,r_{x})\right)\leq {\frac {3^{n}}{d}}\sum _{x\in X}\int _{B(x,r_{x})}|f(t)|\mathrm {d} \lambda _{n}(t)\leq {\frac {3^{n}\|f\|_{1}}{d}}$ car les boules sont disjointes.
Deuxième inégalité.
En procédant comme pour la première, il suffit de montrer que pour tout $d > 0$ et tout compact $K$ inclus dans $[G > d]$ , $\lambda (K)\leq 2(F(b)-F(a))/d.$ Pour tout point $x$ de $K$ , il existe un réel $h x$ non nul tel que ${\frac {F(x+h_{x})-F(x)}{h_{x}}}>d.$ Notons alors, pour $ε > 0$ fixé, $J x$ l'intervalle fermé d'extrémités $x + h x$ et $x - ε h x$ (choisi ainsi pour qu'il contienne $x + h x$ et soit un voisinage de $x$ ).
Par compacité, $K$ est recouvert par une famille finie $(J_{x})_{x\in X}$ et l'on peut même, en enlevant des $J x$ superflus, supposer qu'un point n'appartient jamais à plus de deux d'entre eux (car si trois intervalles ont un point commun, l'un des trois est inclus dans la réunion des deux autres). On a alors : $\lambda (K)\leq \sum _{x\in X}\lambda (J_{x})=(1+\varepsilon )\sum _{x\in X}|h_{x}|\leq {\frac {1+\varepsilon }{d}}\sum _{x\in X}|F(x+h_{x})-F(x)|\leq {\frac {1+\varepsilon }{d}}2(F(b)-F(a)),$ la dernière inégalité étant due à la croissance de $F$ et au fait que les $J x$ se chevauchent au plus par deux. Ainsi, $\forall \varepsilon >0,\lambda (K)\leq 2(1+\varepsilon )(F(b)-F(a))/d\quad {\text{donc}}\quad \lambda (K)\leq 2(F(b)-F(a))/d.$
La troisième inégalité peut se démontrer à l'aide du lemme du soleil levant[3] et se généraliser en utilisant le théorème de recouvrement de Vitali[4].

Applications

Généralisation au cas des mesures de Borel

En gardant les notations précédentes, on peut associer à toute mesure de Borel μ sur ℝⁿ la fonction maximale $M μ$ définie par :

M\mu (x)=\sup _{r>0}{\frac {\mu \left(B(x,r)\right)}{\lambda _{n}\left(B(x,r)\right)}}.

La propriété de semi-continuité inférieure et, si μ est finie, l'inégalité maximale, sont alors encore vraies et se démontrent de la même manière.

Notes et références

(en) G. H. Hardy et J. E. Littlewood, « A maximal theorem with function-theoretic applications », Acta Mathematica, vol. 54,‎ 1930, p. 81–116.
(en) Frank Jones, Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones & Bartlett, 2001, 2^e éd., 588 p. (ISBN 978-0-7637-1708-7, lire en ligne), p. 451-452.
(en) Terence Tao, An Introduction to Measure Theory, Providence, AMS, 2011, 206 p. (ISBN 978-0-8218-6919-2, lire en ligne), p. 130-131.
(en) Andrew M. Bruckner (en), Judith B. et Brian S. Thomson, Real Analysis, 1997, 713 p. (ISBN 978-0-13-458886-5, lire en ligne), p. 264-266.

Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]
Henri Lebesgue, Leçons sur la théorie de l'intégration et la recherche de fonctions primitives, Paris, Gauthier-Villars, 1928, 2^e éd., 342 p. (ISBN 2-87647-059-4)