Lemme du soleil levant

Soit g : [a, b] → ℝ une application continue. Un point x de ]a, b[ est dit invisible depuis la droite[1] s'il existe y dans ]x, b] tel que g(y) > g(x). Soient U l'ouvert des points invisibles depuis la droite et (]a_n, b_n[) la famille (au plus dénombrable) de ses composantes connexes. Alors[4] - [5] - [6], pour tout n,

• si a_n ≠ a, g(a_n) = g(b_n) ;
• si a_n = a, g(a_n) ≤ g(b_n).

Montrons d'abord que pour tout x ∈ ]a_n, b_n[, g(b_n) ≥ g(x). Considérons pour cela un point t en lequel g atteint son maximum sur [x, b]. Puisque [x, b_n[ ⊂ U, t appartient à [b_n, b] donc, comme b_n ∉ U, g(t) ≤ g(b_n). A fortiori, g(x) ≤ g(b_n).

Par continuité, on en déduit que g(a_n) ≤ g(b_n).

Si a_n ≠ a, on a même g(a_n) = g(b_n). En effet, comme a_n ∉ U, g ≤ g(a_n) sur [a_n, b], en particulier g(b_n) ≤ g(a_n).

L'une des approches possibles, pour démontrer la dérivabilité presque partout des fonctions monotones, est de montrer d'abord que pour toute fonction continue croissante f : [a, b] → ℝ, les ensembles

${\displaystyle E_{r,R}:=\{x\in [a,b]~|~D_{-}f(x)<r<R<D^{+}f(x)\}\quad (0<r<R),}$

sont de mesure nulle, D_– et D⁺ désignant les dérivées de Dini inférieure à gauche et supérieure à droite, qui sont presque partout finies. Il en résulte alors que, presque partout, D⁺f ≤ D_–f et (en remplaçant f par x ↦ –f(–x)) D^–f ≤ D₊f, d'où la dérivabilité presque partout de f.

Cette négligeabilité des E_r,R peut se démontrer à l'aide du lemme du soleil levant[7].

Démonstration

Pour tout intervalle [c, d] ⊂ [a, b], le lemme, appliqué à la fonction g définie sur [–d, –c] par g(x) = f(–x) + rx, fournit une suite d'intervalles disjoints ]a_n, b_n[ de [c, d] tels que

• g(–b_n) ≤ g(–a_n), c'est-à-dire f(b_n) – f(a_n) ≤ r(b_n – a_n) ;
• pour tout x de ]c, d[ n'appartenant à aucun de ces intervalles et tout y dans [c, x[, g(–y) ≤ g(–x) c'est-à-dire f(y) – f(x) ≤ r(y – x) < 0, d'où D_–f(x) ≥ r. Par conséquent, E_r,R ∩ ]c, d[ est inclus dans la réunion de ces intervalles.

Or d'après l'inégalité maximale de Hardy-Littlewood dans le cas continu (qui se déduit elle-même du lemme du soleil levant),

${\displaystyle \lambda (E_{r,R}\cap ]a_{n},b_{n}[)\leq {\frac {f(b_{n})-f(a_{n})}{R}}.}$

On obtient ainsi :

${\displaystyle \lambda (E_{r,R}\cap ]c,d[)\leq \sum {\frac {f(b_{n})-f(a_{n})}{R}}\leq {\frac {r}{R}}\sum (b_{n}-a_{n})\leq {\frac {r}{R}}(d-c).}$

Il s'ensuit que E_r,R n'a aucun point de densité, c'est-à-dire qu'il est négligeable.

• (en) D. J. H. Garling, Inequalities : A Journey into Linear Analysis, CUP, 2007, 335 p. (ISBN 978-0-521-69973-0)
• (en) A. A. Korenovskyy, A. K. Lerner et A. M. Stokolos, « On a multidimensional form of F. Riesz's “rising sun” lemma », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 133, n^o 5,‎ novembre 2004, p. 1437-1440 (lire en ligne)
• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Rising sun lemma » (voir la liste des auteurs).