Fonction elliptique d'Abel

Le point de départ d'Abel était les intégrales elliptiques, étudiées en détail par Adrien-Marie Legendre. Il a commencé ses recherches en 1823 alors qu'il était encore étudiant. En particulier, il les considérait comme des fonctions complexes qui, à cette époque, en étaient encore à leurs balbutiements. Au cours des années suivantes, Abel a continué à explorer ces fonctions. Il a également essayé de les généraliser à des fonctions avec encore plus de périodes, mais ne semblait pas pressé de publier ses résultats.

Mais au début de l'année 1827 il rédige en seule fois son premier et long exposé de ses découvertes Recherches sur les fonctions elliptiques[1]. À la fin de la même année, il prend connaissance de Carl Gustav Jacobi et de ses travaux sur les nouvelles transformations des intégrales elliptiques. Abel termine alors une deuxième partie de son article sur les fonctions elliptiques et montre en annexe comment les résultats de transformation de Jacobi s'ensuivraient facilement[2] . Lorsqu'il voit ensuite la publication suivante de Jacobi où il utilise des fonctions elliptiques pour prouver ses résultats sans se référer à Abel, le mathématicien norvégien se retrouve en lutte avec Jacobi pour la priorité. Il termine plusieurs nouveaux articles sur des questions connexes, les datant maintenant pour la première fois, mais meurt moins d'un an plus tard en 1829[3]. Entre-temps, Jacobi achève son grand ouvrage sur les fonctions elliptiques Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum qui paraît la même année sous forme de livre. Il a fini par définir ce que serait la forme standard des fonctions elliptiques dans les années qui ont suivi[3].

On considère l'intégrale elliptique de première espèce sous la forme symétrique suivante[4] :

${\displaystyle \alpha (x):=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}}$ avec ${\displaystyle c,e\in \mathbb {R} }$ .

${\displaystyle \alpha }$ est une fonction croissante impaire sur l'intervalle ${\displaystyle {\bigl [}{-{\tfrac {1}{c}}},{\tfrac {1}{c}}{\bigr ]}}$ avec un maximum égal à

${\displaystyle {\omega \over 2}:=\int _{0}^{1/c}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}.}$

Cela signifie que ${\displaystyle \alpha }$ admet une réciproque : il existe une fonction ${\displaystyle \varphi }$ tel que ${\displaystyle x=\varphi (\alpha (x))}$, qui est bien défini sur l'intervalle ${\displaystyle \textstyle \left[{-{\tfrac {\omega }{2}}},{\tfrac {\omega }{2}}\right]}$ .

Comme la fonction ${\displaystyle \alpha }$, elle dépend des paramètres ${\displaystyle c}$ et ${\displaystyle e}$ qui peut s'exprimer en écrivant ${\displaystyle \varphi (u;e,c)}$ .

Puisque ${\displaystyle \alpha }$ est une fonction impaire, ${\displaystyle \varphi }$ est aussi une fonction impaire qui se traduit par ${\displaystyle \varphi (-u)=-\varphi (u)}$ .

En prenant la dérivée par rapport à ${\displaystyle u}$ on obtient :

${\displaystyle \varphi '(u)={\sqrt {\left(1-c^{2}\varphi ^{2}(u)\right)\left(1+e^{2}\varphi ^{2}(u)\right)}}}$

qui est une fonction paire, c'est-à-dire que ${\displaystyle \varphi (-u)=\varphi (u)}$ .

Abel a présenté les nouvelles fonctions

${\displaystyle f(u)={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(u)}},\;\;\;F(u)={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(u)}}}$ .

Ainsi, on a ${\displaystyle \varphi '(u)=f(u)F(u)}$ .

${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle F}$ sont les fonctions dites fonctions elliptiques d'Abel. Elles peuvent être prolongées en utilisant les théorèmes d'addition.

Par exemple en ajoutant ${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{2}}\omega }$ on obtient :

${\displaystyle \varphi \left(u\pm {\omega \over 2}\right)=\pm {1 \over c}{f(u) \over F(u)},\quad f\left(u\pm {\omega \over 2}\right)=\mp {\sqrt {c^{2}+e^{2}}}{\varphi (u) \over F(u)},\;\;F\left(u\pm {\omega \over 2}\right)={{\sqrt {c^{2}+e^{2}}} \over c}{1 \over F(u)}}$ .

Les fonctions elliptiques d'Abel peuvent être exprimées par les fonctions elliptiques de Jacobi, qui ne dépendent pas des paramètres ${\displaystyle c}$ et ${\displaystyle e}$ mais d'un module ${\displaystyle k}$ :

${\displaystyle \varphi (u;c,e)={\frac {1}{c}}\operatorname {sn} (cu,k)}$

${\displaystyle f(u;c,e)=\operatorname {cn} (cu,k)}$

${\displaystyle F(u;c,e)=\operatorname {dn} (cu,k)}$ ,

où ${\displaystyle k={\frac {{\rm {i}}e}{c}}}$ .

Pour les fonctions ${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle f}$ et ${\displaystyle F}$ les théorèmes d'addition suivants sont vérifiées :

${\displaystyle \varphi (\alpha +\beta )={\frac {\varphi (\alpha )f(\beta )F(\beta )+\varphi (\beta )f(\alpha )F(\alpha )}{R}}}$

${\displaystyle f(\alpha +\beta )={\frac {f(\alpha )f(\beta )-c^{2}\varphi (\alpha )\varphi (\beta )F(\alpha )F(\beta )}{R}}}$

${\displaystyle F(\alpha +\beta )={\frac {F(\alpha )F(\beta )+e^{2}\varphi (\alpha )\varphi (\beta )f(\alpha )f(\beta )}{R}}}$ ,

où ${\displaystyle R=1+c^{2}e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )\varphi ^{2}(\beta )}$ .

Ceux-ci découlent des théorèmes d'addition pour les intégrales elliptiques qu'Euler avait déjà prouvés.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Abel elliptic functions » (voir la liste des auteurs).

• Niels Henrik Abel, Recherches sur les fonctions elliptiques, première et deuxième partie in Sophus Lie et Ludwig Sylow (eds. ) Œuvres complètes, Oslo (1881).
• Christian Houzel, The Work of Niels Henrik Abel, in OA Laudal et R. Piene, The Legacy of Niels Henrik Abel – The Abel Bicentennial, Oslo 2002, Springer Verlag, Berlin (2004). (ISBN 3-540-43826-2) (ISBN 3-540-43826-2) .