Fonction Schur-convexe

Une fonction f est dite Schur-concave si son opposée, -f, est Schur-convexe.

Si f est symétrique et possède des dérivées partielles, alors f est Schur-convexe si et seulement si pour tout 1 ≤ i ≠ j ≤ d et en tout point de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ :

${\displaystyle (x_{i}-x_{j})\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)\geq 0}$[2].

• ${\displaystyle f(x)=\min(x)}$ est Schur-concave et ${\displaystyle f(x)=\max(x)}$ est Schur-convexe (ceci se déduit rapidement de la définition des fonctions).
• La fonction entropie de Shannon ${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}}$ est Schur-concave.
• La fonction entropie de Rényi est aussi Schur-concave.
• Assez naturellement, les fonctions ${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}{x_{i}^{k}}}$ sont toutes Schur-convexes pour k ≥ 1.
• La fonction ${\displaystyle f(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}}$ est Schur-concave, sur le domaine ${\displaystyle (\mathbb {R} _{+})^{d}}$. De même, les fonctions symétriques élémentaires sont Schur-concaves${\displaystyle (\mathbb {R} _{+})^{d}}$.
• Une interprétation naturelle de la majorisation est que si ${\displaystyle x\succ y}$ alors x est plus étalé que y. Il est dès lors naturel de se demander si les mesures statistiques de variabilité sont Schur-convexes. La variance et déviation standard sont toutes les deux des fonctions Schur-convexes mais la valeur absolue des écarts ne l'est pas.
• Si g est une fonction convexe définie sur un intervalle réel, alors ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}g(x_{i})}$ est Schur-convexe.
• Un exemple en probabilité : si ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ sont des variables aléatoires échangeables, alors la fonction espérance ${\displaystyle \mathbb {E} \left(\prod _{j=1}^{n}X_{j}^{a_{j}}\right)}$ est Schur-convexe comme une fonction du multi-indice ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$, sous réserve que l'espérance existe.
• Le coefficient de Gini est strictement Schur-concave.

Fonction quasi-convexe