Fenêtre de Viviani

On a les représentations suivantes[3] (pour une sphère de rayon R) :

Système d’équations cartésiennes : ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}}$ et ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=Rx}$, cette dernière expression venant de celle d'un cylindre de centre ${\displaystyle (x,y)=\left({\frac {R}{2}},0\right)}$, de rayon ${\displaystyle {\frac {R}{2}}}$ et d'axe parallèle à l'axe des ${\displaystyle z}$ : ${\displaystyle \left(x-{\frac {R}{2}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {R}{2}}\right)^{2}}$.

Paramétrisation cartésienne :

La sphère peut être paramétrée par ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}x&=&R\cos \theta \cos \varphi \\y&=&R\sin \theta \cos \varphi \\z&=&R\sin \varphi \end{array}}\right.}$ où ${\displaystyle -\pi <\theta <\pi ,-{\frac {\pi }{2}}<\varphi <{\frac {\pi }{2}}.}$

En reportant dans l'équation du cylindre, on obtient : ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-Rx=R^{2}\cos \varphi (\cos \varphi -\cos \theta )=0.}$

Donc ${\displaystyle \cos \varphi =\cos \theta }$ et le paramétrage de la courbe de Viviani :

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}x&=&R\cos ^{2}\theta \\y&=&R\sin \theta \cos \theta \\z&=&R\sin \theta \end{array}}\right.}$ avec ${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$

En soustrayant l'équation de la sphère et deux fois l'équation du cylindre, on obtient l'équation d'un cône :

${\displaystyle z^{2}=(x-R)^{2}+y^{2}}$

La courbe de Viviani est ainsi également l'intersection de la sphère et de ce cône[3].

• Michel Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie (1837), impr. Hayez, Bruxelles
• Michel Serres, Le système de Leibnitz et ses modèles mathématiques (1968, rééd. 2007) éd. PUF, coll. Épiméthée (ISBN 2130433898)
• (fr) Denis Lanier, « Leibniz, la nouvelle analyse et la géométrie ou enquête sur la fenêtre de Viviani », sur NUMDAM, Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques, vol. 8, 1987 (consulté le 28 octobre 2007), p. 203-227