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Exemple de Lewy

En mathématiques, l'exemple de Lewy est un exemple célèbre, dû à Hans Lewy, d'une équation aux dérivées partielles linéaire qui n'admet pas de solutions au sens des distributions, même si ses coefficients sont très réguliers car polynomiaux.

Ce résultat est à mettre en contraste avec d'une part le théorème de Cauchy-Kowalevski qui montre qu'une équation aux dérivées partielles linéaire ayant des coefficients et un terme source analytiques admet au moins une solution et d'autre part le théorème de Malgrange-Ehrenpreis qui affirme que toute équation aux dérivées partielles linéaire à coefficients constants admet au moins une solution.

L'exemple

Le résultat de Lewy est le suivant:

Dans , il existe une fonction lisse à valeurs complexes telle que l'équation
n'admet pas de solutions sur n'importe quel ouvert.

Notons que si était analytique, le théorème de Cauchy-Kowalevski impliquerait l'existence d'une solution.

Lewy construit une telle fonction en utilisant le résultat suivant:

Dans , supposons que soit une fonction telle que, dans un voisinage de l'origine,
pour une certaine fonction de classe . Alors est nécessairement analytique réelle dans un voisinage (possiblement plus petit) de l'origine.

Sigeru Mizohata (en) a montré plus tard que l'équation encore plus simple

qui ne dépend que de deux variables réelles et n'a parfois aucune solution. Il est remarquable que cette équation est l'une des plus simples parmi les équations aux dérivées partielles linéaires à coefficients non constants.

Références

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