Théorème de Cauchy-Kowalevski

Dans le cas général on a le résultat suivant[2] :

Théorème — Soit le système d'équations aux dérivées partielles

${\displaystyle {\frac {\partial ^{n_{i}}u_{i}}{\partial t^{n_{i}}}}=F_{i}\left(t,x_{1},...,x_{n},u_{1},...,u_{N},...,{\frac {\partial ^{k}u_{j}}{\partial t^{k_{0}}\partial x_{1}^{k_{1}}...\partial x_{n}^{k_{n}}}},...\right)}$ ${\displaystyle \left(i,j=1,2,...,N;\quad k_{0}+k_{1}+...+k_{n}=k\leq n_{i};\quad k_{0}<n_{i}\right)}$

et les conditions initiales

${\displaystyle {\frac {\partial ^{k}u_{i}}{\partial t^{k}}}=\phi _{i,k}\left(x_{1},...,x_{n}\right)\quad \left(k=0,1,...,n_{i}-1;\quad t=t^{0}\right)}$

et notons

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{k-k_{0}}\phi _{i,k_{0}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}...\partial x_{n}^{k_{n}}}}\right)_{x_{i}=x_{i}^{0}}=\phi _{i,k_{0},k_{1},...,k_{n}}^{0}\quad \left(i=1,2,...N;\quad k_{0}+k_{1}+...+k_{n}=k\leq n_{i}\right).}$

Supposons les fonctions ${\displaystyle F_{i}}$ et ${\displaystyle \phi _{i,k}}$ analytiques dans un voisinage du point ${\displaystyle \left(t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},...,\phi _{j,k_{0},k_{1},...,k_{n}}^{0},...\right)}$. Alors il existe un voisinage du point ${\displaystyle \left(t^{0},x_{1}^{0},...,x_{n}^{0}\right)}$ dans lequel le système d'équations aux dérivées partielles considéré admet une solution unique vérifiant les conditions initiales.

Une manière de démontrer le théorème de Cauchy-Kowalevski consiste à se ramener à un système d'équations aux dérivées partielles du premier ordre[4]. Montrons comment procéder dans le cas de l'équation de Klein-Gordon:

Posons ${\displaystyle u_{0}=u,u_{1}={\frac {\partial u}{\partial x}},u_{2}={\frac {\partial u}{\partial t}}}$. On obtient alors le système d'équations aux dérivées partielles

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}{\frac {\partial u_{0}}{\partial t}}=u_{2}\\{\frac {\partial u_{1}}{\partial t}}={\frac {\partial u_{2}}{\partial x}}\\{\frac {\partial u_{2}}{\partial t}}={\frac {\partial u_{1}}{\partial x}}+bu_{0}\end{array}}\right.}$

et les conditions initiales ${\displaystyle u_{0}\left(t^{0},x\right)=\phi _{0}\left(t^{0},x\right),u_{1}\left(t^{0},x\right)={\frac {\partial \phi _{0}}{\partial x}},u_{2}\left(t^{0},x\right)=\phi _{1}\left(t^{0},x\right)}$.

On peut encore, si on le souhaite, « simplifier » ces conditions initiales en posant

${\displaystyle v_{1}=u_{0}-\phi _{0},v_{2}=u_{1}-{\frac {\partial \phi _{0}}{\partial x}},v_{3}=u_{2}-\phi _{1}}$.

Pour démontrer le théorème de Cauchy-Kowalewski général, il suffit alors d'appliquer le résultat suivant[5]:

Lemme — Soit le système d'équations aux dérivées partielles

${\displaystyle {\frac {\partial v_{j}}{\partial x^{p+1}}}=H_{j}\left(x^{1},...,x^{p},v_{1},...,v_{r},{\frac {\partial v_{1}}{\partial x^{1}}},...,{\frac {\partial v_{r}}{\partial x^{p}}}\right)\quad \left(1\leq j\leq r\right)}$

et les conditions initiales

${\displaystyle v_{j}\left(x^{1},...,x^{p},0\right)=0.}$

Supposons les fonctions ${\displaystyle H_{j}}$ analytiques dans un voisinage U de 0 dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+1+rp}}$. Il existe alors un voisinage ${\displaystyle V_{0}}$ de 0 dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+1}}$ tel que, pour tout voisinage connexe ${\displaystyle V\subset V_{0}}$ de 0, il existe une solution et une seule ${\displaystyle \left(v_{1},...,v_{r}\right)}$ formée de fonctions analytiques

${\displaystyle v_{j}:\left(x^{1},...,x^{p},x^{p+1}\right)\mapsto v_{j}\left(x^{1},...,x^{p},x^{p+1}\right)}$

dans V et telles que ${\displaystyle v_{j}\left(x^{1},...,x^{p},0\right)=0\quad \left(1\leq j\leq r\right)}$ dans ${\displaystyle V\cap \mathbb {R} ^{p}}$.

L'idée de la démonstration consiste à développer les fonctions ${\displaystyle H_{j}}$ en série entière au voisinage de l'origine et à rechercher les fonctions ${\displaystyle v_{i}}$ sous forme de développements en série entière (« méthode des majorantes »). Les conditions du théorème assurent la convergence de ceux-ci.