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Espace de Lorentz

En mathématiques, un espace de Lorentz, noté est une généralisation de la notion d'espace de Lebesgue (notés ).

Comme les espaces , un espace de Lorentz est caractérisé par sa norme (techniquement une quasi-norme) qui encode des informations sur la masse d'une fonction, de manière analogue à la norme . La norme de Lorentz offre un contrôle plus strict sur les deux composantes qui forment la masse d'une fonction (son étendue et sa norme ponctuelle) que les normes . La norme de Lorentz est invariante sous des réarrangements arbitraires des valeurs d'une fonction.

Définition

Par une quasi-norme

L'espace de Lorentz sur un espace mesurable est défini l'espace des fonctions mesurables à valeurs complexes sur tel que la quasinorme suivante soit finie

où et . Ainsi, lorsque

et quand ,

Il est également classique de fixer .

Par le réarrangement décroissant

La quasinorme de Lorentz est invariante par réarrangement des valeurs de la fonction . En particulier, étant donné une fonction mesurable à valeurs complexes définie sur un espace mesurable, , son réarrangement décroissant, est défini par

où est la fonction de distribution de , donnée par

,
Les deux fonctions et sont équimesurables, c'est-à-dire que

où est la mesure de Lebesgue sur . Le réarrangement symétrique décroissant associé, qui est également équimesurable avec , est défini par

Compte tenu de ces définitions, pour et , les quasinormes de Lorentz sont données par

Structure

Espace d'interpolation

Les espaces de Lorentz généralisent la notion d'espace au sens où, pour tout , . De plus, l'espace coïncide avec l'espace faible (espace de Marcinkiewicz). Ce sont des espaces quasi-Banach (c'est-à-dire des espaces quasi-normés qui sont aussi complets) et sont normables pour et . Lorsque , est muni d'une norme, mais il n'est pas possible de définir une norme équivalente à la quasi-norme de . En effet, si l'on définit les fonctions et

dont la quasi-norme vaut 1, alors que la quasi-norme de leur somme vaut 4.

L'espace est inclus dans dès que . Les espaces de Lorentz sont des espaces d'interpolation entre et .

Espace dual

Si est un espace de mesure σ-fini non atomique, alors

  1. pour , ou ;
  2. pour , ou ;
  3. pour .

où et sont les exposants conjugués de et . On a par exemple pour , pour , et .

Propriétés

Inégalité de Hölder

où , , , et .

Caractérisation dyadique

Les éléments suivants sont équivalents pour .

  1. .
  2. où a un support disjoint avec la mesure , presque partout dans le support de , et .
  3. presque partout où et .

Voir également

Remarques

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