Inégalité de Hardy-Littlewood

Dans le cas particulier où f et g sont des fonctions indicatrices, compte tenu de la propriété ${\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {I} _{A})^{*}=\mathbb {I} _{A^{*}}}$, l'inégalité à démontrer se réécrit

${\displaystyle \lambda (A\cap B)\leq \lambda (A^{*}\cap B^{*})}$

et vient du fait que si, par exemple λ(A) ≤ λ(B), alors A* ⊂ B* donc

${\displaystyle \lambda (A\cap B)\leq \lambda (A)=\lambda (A^{*})=\lambda (A^{*}\cap B^{*}).}$

Pour en déduire le cas général, on utilise que pour toute fonction positive f et tout réel r, si l'on note [f > r] l'ensemble de sur-niveau associé, c'est-à-dire

${\displaystyle [f>r]=\{x~|~f(x)>r\},}$

on a :

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{[f>r]}(x)~\mathrm {d} r.}$

Grâce au théorème de Fubini, on obtient ainsi[1] - [2] :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)~\mathrm {d} x&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{[f>r]}(x)~\mathrm {d} r\right)\left(\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{[g>s]}(x)~\mathrm {d} s\right)~\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\lambda ([f>r]\cap [g>s])~\mathrm {d} r~\mathrm {d} s\\&\leq \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\lambda ([f>r]^{*}\cap [g>s]^{*})~\mathrm {d} r~\mathrm {d} s\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\lambda ([f^{*}>r]\cap [g^{*}>s])~\mathrm {d} r~\mathrm {d} s\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{[f^{*}>r]}(x)~\mathrm {d} r\right)\left(\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{[g^{*}>s]}(x)~\mathrm {d} s\right)~\mathrm {d} x\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{*}(x)g^{*}(x)~\mathrm {d} x.\end{aligned}}}$

• Inégalité de réarrangement
• Inégalité de Tchebychev pour les sommes