Réarrangement symétrique décroissant

Le réarrangement A* d'une partie mesurable A de ℝⁿ est la boule ouverte de ℝⁿ de centre 0 et de volume égal à celui de A. Formellement :

${\displaystyle A^{*}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}~|~\omega _{n}|x|^{n}<|A|\},}$

où ω_n est le volume de la boule unité et |A| est le volume de A.

Soit f une fonction mesurable positive et, pour tout réel t, ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {I} _{[f>t]}}$ la fonction indicatrice de son ensemble de sur-niveau t, c'est-à-dire de l'ensemble

${\displaystyle [f>t]:=\{y~|~f(y)>t\}.}$

Le réarrangement f* de f est défini par

${\displaystyle f^{*}(x)=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{[f>t]^{*}}(x)~\mathrm {d} t.}$

• Pour toute partie mesurable A,${\displaystyle (\mathbb {I} _{A})^{*}=\mathbb {I} _{A^{*}}.}$En effet, pour toute fonction positive g,${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{[g>t]}(x)~\mathrm {d} t.}$
• f* est symétrique (c'est-à-dire que f*(x) est fonction uniquement de la norme euclidienne de x) et décroissante (en tant que fonction de cette norme).
• Les ensembles de sur-niveau de f* sont les réarrangements de ceux de f et ont par conséquent même mesure, c'est-à-dire que pour tout réel t,${\displaystyle [f^{*}>t]=[f>t]^{*}{\text{ donc }}|~[f^{*}>t]~|=|~[f>t]~|.}$
• Le réarrangement préserve l'ordre :${\displaystyle f\leq g\Rightarrow f^{*}\leq g^{*}.}$
• Si f appartient à l'espace L^p, alors f* aussi et${\displaystyle \|f^{*}\|_{p}=\|f\|_{p}.}$
• Le réarrangement fait décroître la distance dans L^p : si f et g appartiennent à L^p, alors${\displaystyle \|f^{*}-g^{*}\|_{p}\leq \|f-g\|_{p}.}$
• Inégalité de Hardy-Littlewood :${\displaystyle \int fg\leq \int f^{*}g^{*}.}$
• Inégalité de Pólya-Szegő (it) : si 1 ≤ p < ∞ et si f appartient à l'espace de Sobolev W ^1,p, alors${\displaystyle \|\nabla (f^{*})\|_{p}\leq \|\nabla f\|_{p}.}$

• L'inégalité de Pólya-Szegő donne, dans le cas limite p = 1, l'inégalité isopérimétrique.
• En utilisant certaines relations avec les fonctions harmoniques, on peut démontrer l'inégalité de Rayleigh-Faber-Krahn (en).