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Difféotopie

En mathĂ©matiques, une diffĂ©otopie est une classe d'Ă©quivalence pour la relation d’isotopie entre diffĂ©omorphismes sur une variĂ©tĂ© diffĂ©rentielle. Plus explicitement, Ă©tant donnĂ©s deux diffĂ©omorphismes sur une telle variĂ©tĂ© M, c’est-Ă -dire deux applications φ0, φ1 : M → M diffĂ©rentiables et bijectives avec des rĂ©ciproques diffĂ©rentiables, on dit que ces diffĂ©omorphismes sont isotopes s’il existe une famille de diffĂ©omorphismes φt pour t ∈ ]0, 1[ telle que Ί : (t, x) ↩ φt(x) dĂ©finisse une application diffĂ©rentiable sur [0, 1] × M.

L’ensemble des diffĂ©otopies (prĂ©servant le bord) sur une surface connexe compacte et orientĂ©e est un groupe souvent appelĂ© sous sa dĂ©nomination en anglais mapping class group. Pour une surface ÎŁ on trouve la notation avec un « M » gothique 𝔐(ÎŁ). À l’aide de la classification des surfaces compactes, il peut aussi ĂȘtre notĂ© Γg,n pour une surface de genre g avec n composantes de bord[1].

Une homĂ©otopie est une classe d’équivalence pour la relation d’isotopie entre homĂ©omorphismes. Cette notion est en gĂ©nĂ©ral plus large que celle de diffĂ©otopie, mais coĂŻncide[2] dans le cas d’une variĂ©tĂ© de dimension 2.

Notes et références

  1. Richard Hain, Eduard Looijenga, Mapping Class Group and Moduli Spaces of Curves, page 4, sur ArXiv (1996).
  2. Florian Deloup (Université de Toulouse), Le Groupe des Difféotopies de Surface, page 9.
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