Difféotopie
En mathĂ©matiques, une diffĂ©otopie est une classe d'Ă©quivalence pour la relation dâisotopie entre diffĂ©omorphismes sur une variĂ©tĂ© diffĂ©rentielle. Plus explicitement, Ă©tant donnĂ©s deux diffĂ©omorphismes sur une telle variĂ©tĂ© M, câest-Ă -dire deux applications Ï0, Ï1 : M â M diffĂ©rentiables et bijectives avec des rĂ©ciproques diffĂ©rentiables, on dit que ces diffĂ©omorphismes sont isotopes sâil existe une famille de diffĂ©omorphismes Ït pour t â ]0, 1[ telle que Ί : (t, x) ⊠Ït(x) dĂ©finisse une application diffĂ©rentiable sur [0, 1] Ă M.
Lâensemble des diffĂ©otopies (prĂ©servant le bord) sur une surface connexe compacte et orientĂ©e est un groupe souvent appelĂ© sous sa dĂ©nomination en anglais mapping class group. Pour une surface ÎŁ on trouve la notation avec un «âŻMâŻÂ» gothique đ(ÎŁ). Ă lâaide de la classification des surfaces compactes, il peut aussi ĂȘtre notĂ© Îg,n pour une surface de genre g avec n composantes de bord[1].
Une homĂ©otopie est une classe dâĂ©quivalence pour la relation dâisotopie entre homĂ©omorphismes. Cette notion est en gĂ©nĂ©ral plus large que celle de diffĂ©otopie, mais coĂŻncide[2] dans le cas dâune variĂ©tĂ© de dimension 2.
Notes et références
- Richard Hain, Eduard Looijenga, Mapping Class Group and Moduli Spaces of Curves, page 4, sur ArXiv (1996).
- Florian Deloup (Université de Toulouse), Le Groupe des Difféotopies de Surface, page 9.