Dés non transitifs

Un exemple de dés non transitifs (les faces cachées ont les mêmes valeurs que celles affichées)

Soit le jeu de trois dés à 6 faces A, B, C suivant :

• le dé A porte les numéros {2,2,4,4,9,9} sur ses faces ;
• le dé B porte {1,1,6,6,8,8} ;
• le dé C porte {3,3,5,5,7,7}.

Alors :

• la probabilité que A donne un plus grand nombre que B est 5/9 (sur les 36 résultats possibles, le dé A l'emporte 20 fois) ;
• la probabilité que B donne un plus grand nombre que C est 5/9 ;
• la probabilité que C donne un plus grand nombre que A est 5/9.

Dans cet exemple, A a plus de chances de gagner sur B, qui a lui-même plus de chances de l'emporter sur C, lequel a à son tour plus de chances de donner un plus grand résultat que A.

La valeur moyenne de chacune des trois distributions est de 5.

Dés d'Efron

Les dés d'Efron[1] sont un jeu de quatre dés non transitifs inventés par Bradley Efron. Les quatre dés A, B, C, D portent les numéros suivants sur leurs six faces :

• A : 4, 4, 4, 4, 0, 0 ;
• B : 3, 3, 3, 3, 3, 3 ;
• C : 6, 6, 2, 2, 2, 2 ;
• D : 5, 5, 5, 1, 1, 1.

La probabilité que A batte B, B batte C, C batte D et D batte A est égale à 2/3.

Les autres probabilités varient suivant les dés :

• la probabilité que A batte C est 4/9 ;
• la probabilité que B batte D est égale à 1/2 ;
• la probabilité que C batte A vaut 5/9 ;
• la probabilité que D batte B est 1/2.

En revanche, la probabilité qu'un dé en batte un autre pris au hasard parmi les trois restants n'est pas égale suivant les dés :

• dans le cas de A, elle vaut 13/27 ;
• pour B, 1/2 ;
• pour C, 14/27 ;
• pour D, 1/2.

Globalement, le meilleur dé pour gagner un jeu totalement aléatoire est donc C, qui gagne dans près de 52 % des cas.

Notez que dans cet exemple, la valeur moyenne diffère selon les dés : la valeur moyenne du "meilleur" dé C est de 10/3 alors que celle du plus "mauvais", le A, est de 8/3.

Un jeu de trois dés utilisant tous les nombres de 1 à 18 peut être rendu non transitif avec la combinaison suivante :

• A : 1, 6, 11, 12, 13, 14
• B : 2, 3, 4, 15, 16, 17
• C : 5, 7, 8, 9, 10, 18

B bat A, C bat B et A bat C avec la probabilité de 7/12[2].

Un jeu de quatre dés utilisant tous les nombres de 1 à 24 peut être rendu non transitif avec la combinaison suivante :

• A : 1, 2, 16, 17, 18, 19
• B : 3, 4, 5, 20, 21, 22
• C : 6, 7, 8, 9, 23, 24
• D : 10, 11, 12, 13, 14, 15

B bat A, C bat B, D bat C et A bat D avec la probabilité de 2/3.

Dés de Miwin

Les dés de Miwin (en)[3] ont été inventés en 1975 par le physicien Michael Winkelmann et sont répartis de la sorte :

• A : 1, 2, 5, 6, 7, 9
• B : 1, 3, 4, 5, 8, 9
• C : 2, 3, 4, 6, 7, 8

A l'emporte sur B, B sur C et C sur A avec la probabilité de 17/33.

Ces dés peuvent servir à effectuer des tirages avec des probabilités uniformes :

• si l'on prend un dé au hasard et qu'on le jette, on peut obtenir tous les nombres de 1 à 9, distribués suivant la loi uniforme (puisque chaque nombre est représenté deux fois sur un total de dix-huit faces) ;
• si l'on prend deux dés au hasard et qu'on multiplie leurs résultats, on peut obtenir tous les produits de deux nombres de 1 à 9, entre 1 et 81, également distribués suivant la loi uniforme. Toutefois, certains produits ayant la même valeur (comme 6 égal à 1 fois 6 et 2 fois 3) et d'autres étant uniques à avoir leur valeur (comme 7 égal uniquement au produit 1 fois 7), les nombres obtenus n'ont pas tous la même probabilité.

• Dés de Sicherman
• Phénomène de Rogers
• Paradoxe de Simpson
• Paradoxe de Parrondo
• Paradoxe de Condorcet

• (en) Tricky Dice Revisited (Science News)
• (en) Non-Transitive Dice (Jim Loy)

(en) Martin Gardner, The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems, 1^re éd., New York, Norton, 2001 (ISBN 0-393-02023-1), p. 286-311