Cryptosystème de Cramer-Shoup

L'algorithme de « génération de clé » ${\displaystyle G}$ prend en entrée un paramètre de sécurité ${\displaystyle \lambda }$. Il détermine un groupe cyclique ${\displaystyle \mathbb {G} }$ d'ordre ${\displaystyle q}$ et une fonction ${\displaystyle H:\mathbb {G} ^{3}\to \mathbb {Z} /(q)}$. Le choix de ${\displaystyle q}$ et de la fonction ${\displaystyle H}$ dépend de ${\displaystyle \lambda }$ et se fait à partir de l'analyse de sécurité, voir plus bas.

L'algorithme donne deux générateurs aléatoires ${\displaystyle g_{1},g_{2}}$ de ${\displaystyle \mathbb {G} }$ et tire six exposants aléatoires ${\displaystyle x_{1},x_{2},y_{1},y_{2},z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z} /(q)}$. Il calcule alors :

$${\displaystyle c\gets g_{1}^{x_{1}}g_{2}^{x_{2}},\quad d\gets g_{1}^{y_{1}}g_{2}^{y_{2}},\quad {\text{et}}\quad h\gets g_{1}^{z_{1}}g_{2}^{z_{2}}}$$

Finalement l'algorithme retourne une clé publique ${\displaystyle {\mathsf {pk}}=\{c,d,h\}}$, des paramètres publics ${\displaystyle {\mathsf {pp}}=\{\lambda ,\mathbb {G} ,g_{1},g_{2},q,H\}}$, et la clé privée ${\displaystyle {\mathsf {sk}}=\{x_{1},x_{2},y_{1},y_{2},z_{1},z_{2}\}}$.

L'algorithme de chiffrement ${\displaystyle E}$ prend en entrée les paramètres publics, la clé publique, et un message ${\displaystyle m\in \mathbb {G} }$. Un exposant ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} /(q)}$ est choisi uniformément au hasard, puis l'algorithme calcule :

$${\displaystyle u_{1}\gets g_{1}^{r},\quad u_{2}\gets g_{2}^{r},\quad e\gets mh^{r},\quad \alpha \gets H(u_{1},u_{2},e)\quad {\text{et}}\quad v\gets (cd^{\alpha })^{r}}$$

Le chiffré correspondant est ${\displaystyle {\mathsf {ct}}=\{u_{1},u_{2},e,v\}\in \mathbb {G} ^{4}}$.

L'algorithme de déchiffrement ${\displaystyle D}$ prend en entrée les paramètres publics, la clé privée, et un chiffré ${\displaystyle {\mathsf {ct}}=\{u_{1},u_{2},e,v\}\in \mathbb {G} ^{4}}$. Il calcule ${\displaystyle \alpha \gets H(u_{1},u_{2},e)}$ et vérifie ${\displaystyle u_{1}^{x_{1}+\alpha y_{1}}\cdot u_{2}^{x_{2}+\alpha y_{2}}\ {\stackrel {?}{=}}\ v}$. Si l'égalité est fausse, l'algorithme de déchiffrement échoue et renvoie un symbole d'erreur (${\displaystyle \bot }$). Sinon, il renvoie ${\displaystyle m\gets eu_{1}^{-z_{1}}u_{2}^{-z_{2}}}$.

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