Conjecture de Willmore

Soit v : M → R ³ une immersion douce d'une surface compacte et orientable. Donnant à M la métrique riemannienne induite par v, soit H : M → R la fonction courbure moyenne (moyenne arithmétique des courbures principales K₁ et K₂ en chaque point). Avec ces notations, l’énergie de Willmore W (M) de M est donnée par :

${\displaystyle }$${\displaystyle W(M)=\int _{M}H^{2}\,dS}$.

Il n’est pas difficile de prouver que l’énergie de Willmore vérifie W(M) ≥ 4π, avec égalité si et seulement si v(M) est une sphère.

Le calcul de W (M) dans quelques cas particuliers suggère qu’il devrait y avoir une meilleure borne que W (M) ≥ 4 π pour les surfaces de genre g (M) > 0. En particulier, le calcul de W ( M ) pour des tores présentant diverses symétries a amené Willmore à proposer en 1965 la conjecture suivante, qui porte désormais son nom :

Pour tout tore M immergé dans R³, W(M) ≥ 2π².

En 2012, Fernando Codá Marques et André Neves ont prouvé la conjecture en utilisant la théorie mini-max Almgren – Pitts des surfaces minimales[2] - [3]. Martin Schmidt avait annoncé une preuve en 2002[4] mais sa publication n’a été acceptée dans aucune revue mathématique évaluée par des pairs (bien qu’elle ne contienne pas de preuve de la conjecture de Willmore, elle contient des démonstrations d’autres conjectures importantes). Avant la preuve de Marques et Neves, la conjecture de Willmore avait déjà été prouvée dans de nombreux cas particuliers, comme les tores à section circulaire (par Willmore lui-même) et les tores de révolution (par Langer & Singer).

Tore de Willmore sur mathcurve.