Conjecture de Selberg sur la fonction zêta

En 1942, Atle Selberg étudie la deuxième conjecture de Hardy–Littlewood sur la fonction zêta; et il prouve que pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$, il existe ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$ et ${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0,}$ tel que pour ${\displaystyle T\geq T_{0}}$ et ${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$, l'inégalité

${\displaystyle N(T+H)-N(T)\geq cH\log T}$

est vrai.

À son tour, Selberg énonce une conjecture relative à des intervalles plus courts[1], à savoir qu'il est possible de diminuer la valeur de l'exposant a = 0,5 dans

${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }.}$

En 1984, Anatolii Karatsuba a prouvé[2] - [3] - [4] que pour un ${\displaystyle \varepsilon }$ fixé satisfaisant

${\displaystyle 0<\varepsilon <0.001,}$

un T suffisamment grand et

${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon },}$ ${\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}},}$

l'intervalle en ordonnée t(T , T + H) contient au moins cH ln(T) zéros de la fonction zêta de Riemann

${\displaystyle \zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr )};}$

et a ainsi confirmé la conjecture de Selberg.

En 1992, Karatsuba a prouvé[5] qu'un analogue de la conjecture de Selberg est valable pour "presque tous" les intervalles ]T , T + H], H = T^ε où ε est un nombre positif fixe arbitrairement petit. La méthode de Karatsuba permet d'étudier les zéros de la fonction zêta de Riemann sur des intervalles "supercourts" de la droite critique, c'est-à-dire sur les intervalles ]T , T + H], dont la longueur H croît plus lentement que n'importe quel puissance de T.

En particulier, il a démontrer que pour tout nombre donné ε, ε₁ satisfaisant les conditions 0 < ε,ε₁ < 1 presque tous les intervalles ]T , T + H ] pour H ≥ exp[(ln T )^ε] contiennent au moins H (ln T )^1−ε₁ zéros de la fonction ζ(1/2 + it). Cette estimation est assez proche du résultat qui découle de l'hypothèse de Riemann.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Selberg's zeta function conjecture » (voir la liste des auteurs).