Conjectures de Hardy-Littlewood sur la fonction zêta

En 1914, Godfrey Harold Hardy a prouvé[1] que la fonction zêta de Riemann ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$ a une infinité de zéros réels.

Soit ${\displaystyle N(T)}$ le nombre de zéros réels inférieurs, ${\displaystyle N_{0}(T)}$ le nombre de zéros d'ordre impair de la fonction ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$, situés sur l'intervalle ${\displaystyle ]0,T]}$ .

Hardy et Littlewood ont avancé[2] deux conjectures.

1. Pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$, il existe ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$ tel que pour ${\displaystyle T\geq T_{0}}$ et ${\displaystyle H=T^{0.25+\varepsilon }}$ l'intervalle ${\displaystyle ]T,T+H]}$ contient un zéro d'ordre impair de la fonction ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$ .
2. Pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$, il existe ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$ et ${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$, tels que pour ${\displaystyle T\geq T_{0}}$ et ${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$ l'inégalité ${\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH}$ est vérifiée.

En 1942, Atle Selberg étudia le problème 2 et prouva que pour tout ${\displaystyle \varepsilon >0}$ il existe ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$ et ${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$, tels que pour ${\displaystyle T\geq T_{0}}$ et ${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$ ont ait l'inégalité ${\displaystyle N(T+H)-N(T)\geq cH\log T}$.

À son tour, Selberg fait une conjecture[3] selon laquelle il est possible de diminuer la valeur de l'exposant ${\displaystyle a=0.5}$ pour ${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$, ce qui a été prouvé 42 ans plus tard par A. Karatsuba[4].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hardy–Littlewood zeta-function conjectures » (voir la liste des auteurs).