Conjecture de Herzog-Schönheim

Soient G un groupe et {a₁G₁, … , a_kG_k} (k > 1) une partition finie de G par des classes à gauches suivant des sous-groupes G₁, … , G_k. Marcel Herzog et Jochanan Schönheim ont conjecturé[1] que les indices (finis[2]) [G:G₁], … , [G:G_k] ne peuvent être tous distincts.

Berger, Felzenbaum et Frankel[3] ont démontré cette conjecture dans le cas où G est un groupe fini « pyramidal », c'est-à-dire qu'il existe une suite de sous-groupes

${\displaystyle \{1\}=G_{n}\subset G_{n-1}\subset \ldots \subset G_{0}=G}$

telle que pour chaque k < n, l'indice [G_k:G_{k +1}] soit le plus petit facteur premier de l'ordre de G_k (ce qui implique que G_{k +1} est normal dans G_k, donc que G est résoluble).

Tout groupe fini super-résoluble est pyramidal et tout groupe nilpotent de type fini est super-résoluble.

Plus généralement, Zhi Wei Sun a démontré la conjecture sous la seule hypothèse que les sous-groupes G_i sont sous-normaux dans G[4] (ce qui ne nécessite plus que G soit fini, et s’applique en particulier à G = ℤ), et en supposant seulement que les classes a_iG_i forment, au lieu d'une partition, un système « exactement couvrant », ou « uniforme », c'est-à-dire que le nombre de ces classes auxquelles un élément de G appartient est indépendant de cet élément, mais pas forcément égal à 1.

Il utilise entre autres le lemme de base suivant[5] : si G₁, … , G_k sont des sous-groupes sous-normaux d'indices finis dans G, alors

${\displaystyle {\bigg [}G:\bigcap _{i=1}^{k}G_{i}{\bigg ]}\ {\bigg |}\ \prod _{i=1}^{k}[G:G_{i}].}$

(en) M. A. Berger, A. Felzenbaum et A. S. Fraenkel, « Lattice parallelotopes and disjoint covering systems », Discrete Math., vol. 65,‎ 1987, p. 23-44 (DOI 10.1016/0012-365X(87)90208-1)