Condition de Palais-Smale

On dit qu'une fonctionnelle continûment différentiable au sens de Fréchet ${\displaystyle I\in C^{1}(H,\mathbb {R} )}$ d'un espace de Hilbert H à valeurs dans ℝ satisfait la condition de Palais-Smale si toute suite ${\displaystyle \{u_{k}\}_{k=1}^{\infty }\subset H}$ vérifiant:

• ${\displaystyle \{I[u_{k}]\}_{k=1}^{\infty }}$ est bornée
• ${\displaystyle I'[u_{k}]\rightarrow 0}$ en H

admet une sous-suite convergente dans H.

Soit X un espace de Banach et ${\displaystyle \Phi \colon X\to \mathbf {R} }$ une fonctionnelle différentiable au sens de Gateaux. On dit que la fonctionnelle ${\displaystyle \Phi }$ satisfait la condition faible de Palais-Smale si pour toute suite ${\displaystyle \{x_{n}\}\subset X}$ vérifiant

• ${\displaystyle \sup |\Phi (x_{n})|<\infty ,}$
• ${\displaystyle \lim \Phi '(x_{n})=0\in X^{*},}$
• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\,\Phi (x_{n})\neq 0,}$

il existe un point critique de ${\displaystyle \Phi }$, ${\displaystyle {\overline {x}}\in X}$ tel que

${\displaystyle \liminf _{n}\Phi (x_{n})\leq \Phi ({\overline {x}})\leq \limsup _{n}\Phi (x_{n}).}$

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Palais-Smale compactness condition » (voir la liste des auteurs).
• (en) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, Providence, Rhode Island, American Mathematical Society, 1998, 662 p. (ISBN 0-8218-0772-2)