Suite (mathématiques élémentaires)

La suite u est dite "croissante" si pour tout entier naturel n, ${\displaystyle u_{n}\leq u_{n+1}.}$

On a donc, ${\displaystyle u_{0}\leq u_{1}\leq \ldots \leq u_{n}\leq u_{n+1}.}$ La suite u est dite strictement "croissante" si pour tout entier naturel n, ${\displaystyle u_{n}<u_{n+1}.}$

La suite u est dite "décroissante" si pour tout entier naturel n, ${\displaystyle u_{n}\geq u_{n+1}.}$

On a donc, ${\displaystyle u_{0}\geq u_{1}\geq \ldots \geq u_{n}\geq u_{n+1}.}$ La suite u est dite strictement "décroissante" si pour tout entier naturel n, ${\displaystyle u_{n}>u_{n+1}.}$

La suite u est "monotone" si elle est "croissante" ou "décroissante". De même, la suite u est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

Une suite u est dite stationnaire s’il existe un rang n₀ à partir duquel tous les termes de la suite sont égaux, c'est-à-dire un entier naturel n₀ tel que pour tout entier naturel n supérieur à n₀, ${\displaystyle u_{n}=u_{n_{0}}}$.

• Si pour tout entier naturel n, u_n = 2n + 1,
  la suite u est croissante.
• Si pour tout entier naturel n non nul, ${\displaystyle v_{n}={\frac {1}{n}}}$,
  la suite v est décroissante.

Les suites u et v sont donc monotones (et même strictement).

• En revanche, la suite w définie par : pour tout entier naturel n, ${\displaystyle w_{n}=(-1)^{n+1}}$
  n'est pas monotone en effet ${\displaystyle w_{0}=-1}$, ${\displaystyle w_{1}=1}$, ${\displaystyle w_{2}=-1}$. Elle n'est ni croissante, ni décroissante.
• Étudier les variations d’une suite c’est déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Donnons quelques règles pratiques permettant d’étudier les variations d’une suite :

• on étudie pour tout entier naturel n, le signe de ${\displaystyle u_{n+1}-u_{n}\,}$ ;
• lorsque tous les termes de la suite sont strictement positifs et qu’ils sont sous forme d’un produit, on peut étudier pour tout entier naturel n, le rapport ${\displaystyle {\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}}$ et on le compare à 1 ;
• si le terme général u_n est de la forme f(n), où f est une fonction définie sur ${\displaystyle [0,+\infty [}$, et si f est croissante (resp. décroissante), alors u est croissante (resp. décroissante).

u est bornée si et seulement s'il existe un réel K tel que pour tout entier naturel n, ${\displaystyle |u_{n}|\leq K}$ (il suffit de prendre pour K la valeur absolue de celui de M et m qui est le plus grand en valeur absolue : ${\displaystyle K=\max(|M|,|m|)}$).

Conséquence :

Pour démontrer qu’une suite u est bornée, il suffit de montrer que la suite (|u_n|) est majorée.

• La suite u définie par : pour tout entier naturel n, ${\displaystyle u_{n}=-3\,n+1}$ est majorée par 1 mais n’est pas minorée ;
• La suite v définie par : pour tout entier naturel n, ${\displaystyle v_{n}=(n-7)^{2}}$ est minorée par 0 mais n’est pas majorée ;
• La suite w définie par : pour tout entier naturel non nul n, ${\displaystyle w_{n}={\frac {1}{n}}}$ est bornée (son plus grand terme est ${\displaystyle w_{1}=1}$, c'est aussi le plus petit des majorants ; elle n'a pas de plus petit terme car elle est strictement décroissante, mais le plus grand des minorants est 0, c'est aussi sa limite).

• Une suite croissante u est minorée par son premier terme u₀ ;
• Une suite décroissante u est majorée par son premier terme u₀ ;
• Lorsque le terme général u_n d’une suite s’écrit sous la forme d’une somme de n termes, on peut minorer la somme par n fois le plus petit terme de la somme et majorer par n fois le plus grand. Mais cela ne permet pas toujours d’obtenir un minorant ou un majorant de la suite.