Compactifié d'Alexandrov

Soit ${\displaystyle X}$ un espace topologique localement compact. On peut, en ajoutant un point à ${\displaystyle X}$, obtenir un espace compact. Pour cela, on considère ${\displaystyle {\tilde {X}}=X\cup \{\omega \}}$ où ${\displaystyle \omega \not \in X}$, et l'on définit une topologie de la manière suivante.

L'ensemble des ouverts de ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ est constitué par :

• les ouverts de ${\displaystyle X}$ ;
• les sous-ensembles de la forme ${\displaystyle \{\omega \}\cup K^{c}}$, où ${\displaystyle K^{c}}$ est le complémentaire dans ${\displaystyle X}$ d'un compact ${\displaystyle K}$ de ${\displaystyle X}$.

On vérifie que l'on définit bien ainsi une topologie sur ${\displaystyle {\tilde {X}}}$, et que la topologie initiale sur ${\displaystyle X}$ est identique à la topologie induite sur ${\displaystyle X}$ par cette topologie sur ${\displaystyle {\tilde {X}}}$.

On vérifie enfin que ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ muni de cette topologie est un espace compact.

L'espace ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ s'appelle alors le compactifié d'Alexandrov de l'espace localement compact ${\displaystyle X}$ ; ${\displaystyle \omega }$ s'appelle le point à l'infini de ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ et se note également ${\displaystyle \infty }$.

Cette notion ne présente d'intérêt que si l'espace de départ n'est pas compact. En effet, appliquer le procédé de compactification d'Alexandrov à un espace compact ne fait que lui ajouter un point isolé (car ${\displaystyle \{\omega \}}$ est alors un ouvert de ${\displaystyle {\tilde {X}}}$).

Si ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ sont deux espaces localement compacts, une application continue ${\displaystyle f:X\to Y}$ se prolonge en une application continue entre les compactifiés d'Alexandrov si et seulement si elle est propre.

Il est à noter que cette construction s'applique également si ${\displaystyle X}$ est seulement supposé quasi-compact ; on obtient alors un espace ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ quasi-compact et l'on a la propriété suivante : ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ est séparé (donc compact) si et seulement si ${\displaystyle X}$ est localement compact[1].

On montre facilement que partant d'un espace topologique localement compact ${\displaystyle X}$ et d'un point donné ${\displaystyle \omega \not \in X}$, le compactifié d'Alexandrov construit comme ci-dessus sur ${\displaystyle {\tilde {X}}=X\cup \{\omega \}}$ est l'unique topologie possible sur ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ telle que :

• ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ soit compact ;
• la topologie induite sur ${\displaystyle X}$ soit identique à la topologie de départ.

• Le compactifié d'Alexandrov de ℝⁿ est homéomorphe à la n-sphère, à travers, en particulier, la projection stéréographique depuis un des pôles ${\displaystyle P}$ de la n-sphère, projection complétée par ${\displaystyle P\mapsto \omega }$. Ainsi, le compactifié d'Alexandrov de ℝ est homéomorphe à un cercle, celui de ℝ² (ou ℂ) à une sphère, appelée communément sphère de Riemann. Le point ajouté à l'espace peut être imaginé comme un point « à l'infini » : à l'infini la droite réelle se « referme » en un cercle.
• Tout ordinal α = [0, α[ peut être muni de la topologie de l'ordre. Si α est un ordinal limite, le compactifié d'Alexandrov de [0, α[ est α + 1 = [0, α].
  (Si au contraire α possède un prédécesseur β, alors [0, α[ est le compact [0, β + 1[ = [0, β].)
• Un espace de Fort (en) est le compactifié d'Alexandrov d'un espace discret infini.

Le compactifié d'Alexandrov sur le site les-mathematiques.net