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Cercle podaire

En géométrie, le cercle podaire d'un point par rapport à un triangle de référence est le cercle circonscrit au triangle formé par les projections du point sur les côtés du triangle de référence. Ce dernier triangle est appelé triangle pédal du point par rapport au triangle de référence.

Cercle podaire du point P par rapport au triangle ABC.

DĂ©finition

On considère un triangle ABC et un point P coplanaire, différent de A, B et C. On construit les points PA, PB, PC, les projetés orthogonaux de P sur (BC), (AC), (AB) respectivement. Le cercle podaire de P pour le triangle ABC est donc l'unique cercle passant par PA, PB et PC, qu'on appelle donc triangle podaire de P pour le triangle ABC.

Propriétés
Un point et son conjugué isogonal ont le même cercle podaire.

Pour un triangle donné, un point et son conjugué isogonal ont le même cercle podaire[1].

Le centre de l'hyperbole équilatère passant par A, B, C et P se trouve également sur le cercle podaire de P par rapport à ABC[2].

Cas particuliers

Le cercle podaire du centre du cercle inscrit du triangle est son cercle inscrit.

Le cercle podaire de l'orthocentre du triangle est son cercle d'Euler.

Quand le point P est sur un des côtés (étendu) du triangle, le cercle podaire dégénère en une droite, qu'on appelle droite podaire.

Théorèmes de Fontené

Il existe trois théorèmes attribués à Georges Fontené sur les propriétés des cercles podaires.

Premier théorème de Fontené
Premier théorème de Fontené

Soit ABC un triangle, on note O son centre du cercle circonscrit, et P un point du plan, A'B'C' le triangle médian de ABC, et XYZ le triangle podaire de P par rapport à ABC. On note D, E, F les intersections des côtés (éventuellement prolongés) de A'B'C' et XYZ (e.g., D est l'intersection de (B'C') et (YZ), etc.), alors les droites (XD), (YE) et (ZF) sont concourantes en un point M commun aux cercles circonscrits à A'B'C' (qui est donc le cercle d'Euler de ABC) et XYZ.

Ce point est appelé le "point de Fontené de O et P relativement à ABC"[3].

Deuxième théorème de Fontené

Ce résultat est aussi connu sous de théorème de Griffiths, du nom du mathématicien John Griffiths[4] - [5].

On considère un point mobile P sur une droite fixe qui passe par le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Alors le faisceau de cercles podaires de P par rapport à ABC passe par un point fixe sur le cercle d'Euler de ABC, appelé point de Griffiths du cercle d'Euler.

Troisième théorème de Fontené

Pour un triangle ABC, le cercle podaire d'un point P par rapport à ABC est tangent au cercle d'Euler de ABC si et seulement si P, son conjugué isogonal et le centre du cercle circonscrit à ABC sont alignés[6] - [7].

On peut en déduire le théorème de Feuerbach, en prenant le centre du cercle inscrit à ABC comme point P.

Cercles podaires dans un quadrilatère

Points d'Euler et de Poncelet d'un quadrilatère

En géométrie, le centre d'Euler d'un quadrilatère (ou point d'Euler) est le point de concourance des quatre cercles d'Euler des triangles.

Le point d'Euler d'un quadrilatère ABCD est le point de concourance des quatre cercles d'Euler des triangles contenus dans le quadrilatère[8] - [9] - [10].

Le point de Poncelet d'un quadrilatère se construit sur un principe similaire : au lieu de construire les cercles d'Euler des triangles, donc passant par les milieux des côtés de chaque triangle, on construit les cercles passant par les milieux des trois segments issus d'un même sommet. Ces quatre cercles sont concourants en un même point, appelé point de Poncelet du quadrilatère.

Point d'Euler-Poncelet
Cercles podaires d'un quadrilatère

On considère un quadrilatère ABCD, on appelle cercle podaire de ABCD issu de A le cercle podaire de BCD par rapport à A[11].

Point d'Euler-Poncelet

Dans un quadrilatère ABCD, les cercles d'Euler des quatre triangles ABC, ABD, ACD, BCD sont concourants en un point, appelé point d'Euler-Poncelet du quadrilatère.

Démonstration géométrique de l'existence du point d'Euler-Poncelet

On note I, J, K, L, M, N les milieux respectifs de AB, BC, CD, DA, AC, BD. Les cercles d'Euler des triangles BCD et ACD se croisent en N et un deuxième point, noté P.

Par le théorème des milieux appliqué aux triangles BCD et ACD, les droites (JN) et (LM) sont parallèles (car parallèles toutes deux à (CD)). De même, (IM) et (KN) sont parallèles. Ceci implique . De plus, par le théorème de l'angle inscrit, .

D'autre part, le théorème de Varignon permet de dire que (LK) et (IJ) sont parallèles.

Enfin, par le théorème des cinq cercles de Lebesgue, implique que M, P, I, J sont cocycliques, et P se trouve donc sur le cercle d'Euler de ABC. Un raisonnement similaire permet de déduire que P est également sur le cercle d'Euler de ABD.

Le centre d'Euler d'un quadrilatère est le centre de l'unique hyperbole équilatère passant par les quatre sommets du quadrilatère.
Propriétés

Le point d'Euler-Poncelet se trouve sur les quatre cercles podaires de ABCD issus de chacun des sommets[12].

On note R le point d'intersection de (AB) et (CD), S le point d'intersection de (AC) et (BD), T le point d'intersection de (AD) et (BC). Le point d'Euler-Poncelet est sur le cercle circonscrit du triangle PQR[12].

Les points d'Euler et de Poncelet d'un quadrilatère sont symétriques par rapport au centre de gravité du quadrilatère.

Le centre d'Euler du quadrilatère est le centre de l'unique hyperbole équilatère passant par les quatre sommets.

Voir aussi

Références
  1. (en) Ross Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, Washington, DC, The Mathematical Association of America, (ISBN 0-88385-639-5, présentation en ligne), chap. 7.4 (viii) (« The Pedal Circle »), p. 67-69.
  2. G. Fontené, « Sur le cercle pédal », Nouvelles annales de mathématiques, 4e série, vol. 6,‎ , p. 55-58 (lire en ligne)
  3. https://www.awesomemath.org/wp-pdf-files/math-reflections/mr-2015-02/article_1_bocanu.pdf
  4. (en) John Griffiths, Notes on the geometry of the plane triangle, , 76 p.
  5. (en) R. A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry, Mineola, NY, Dover Publications, , 246 p..
  6. Georges Fontené, « Extension du théorème de Feuerbach », Nouvelles annales de mathématiques, 4e série, t. 5,‎ , p. 504-506 (lire en ligne)
  7. V. Thébault, « Sur deux théorèmes de M. Fontené relatifs à l’orthopole », Nouvelles annales de mathématiques, 4e série, t. 16,‎ , p. 495-500 (lire en ligne)
  8. Timoléon Lemoyne, « Note de géométrie », Nouvelles Annales de Mathématiques, 4e série,‎ , p. 400-402 (lire en ligne).
  9. (en) David G. Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, Londres, Penguin Books, , 158-159 p..
  10. (de) Eberhard M. Schröder, « Zwei 8-Kreise-Sätze für Vierecke », Mathematische Gesellschaft in Hamburg,‎ , p. 105-117.
  11. (en) Eric W. Weisstein, « Pedal Circle », sur MathWorld
  12. (en) Michal Roĺınek et Le Anh Dung, « The Miquel Points, Pseudocircumcenter, and Euler-Poncelet Point of a Complete Quadrilateral », Forum Geometricorum, vol. 14,‎ , p. 145–153 (lire en ligne)

Liens externes
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