Cercle de Carlyle

Le problème de la construction d'un pentagone régulier est équivalent au problème de construction des racines de l'équation

${\displaystyle z^{5}-1=0.}$

Une racine de cette équation est z₀ = 1 qui correspond au point P₀(1, 0). En réduisant l'équation pour supprimer cette solution, il reste à déterminer les zéros de l'équation

${\displaystyle z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1=0.}$

Ces racines sont complexes et peuvent être représentées sous la forme ω, ω², ω³, ω⁴ avec ω = exp (2πi/5), correspondant aux points P₁, P₂, P₃, P₄. En notant

${\displaystyle p_{1}=\omega +\omega ^{4},\ p_{2}=\omega ^{2}+\omega ^{3}}$

on a, par calcul direct et en utilisant le fait que ω⁶ = ω et ω⁷ = ω²

${\displaystyle p_{1}+p_{2}=-1,\ p_{1}p_{2}=-1.}$

Donc p₁ et p₂ sont les racines de l'équation quadratique

${\displaystyle x^{2}+x-1=0.}$

Le cercle de Carlyle associé à cette équation du second degré a donc un diamètre d'extrémités (0, 1) et (-1, -1), avec son centre en (-1/2, 0). Les cercles de Carlyle sont utilisés pour construire p₁ et p₂. Des définitions de p₁ et p₂, il suit également

${\displaystyle p_{1}=2\cos \left({\frac {2\pi }{5}}\right),p_{2}=2\cos \left({\frac {4\pi }{5}}\right).}$

Dès lors, on peut construire les points P₁, P₂, P₃ et P₄.

On peut suivre la procédure suivante pour construire un pentagone régulier avec des cercles de Carlyle[3]:

1. Tracer un cercle qui sera circonscrit au pentagone et noter son centre O.
2. Tracer une ligne horizontale passant par O. Noter une des intersections avec le cercle comme le point B.
3. Tracer une ligne verticale passant par O. Noter une des intersections avec le cercle comme le pointA.
4. Construire le point M, milieu de O et B.
5. Tracer un cercle centré en M passant par A. Ce cercle est le cercle de Carlyle pour x² + x − 1 = 0. Marquer l'intersection avec la ligne horizontale à l'intérieur du cercle comme le point W et son intersection hors du cercle comme le point V. Ce sont les points d'abscisses p₁ et p₂.
6. Tracer un cercle de rayon OA et de centre W. Les deux intersections avec le cercle originel sont des sommets du pentagone.
7. Tracer un cercle de rayon OA et de centre V. Les deux intersections avec le cercle originel sont aussi des sommets du pentagone.
8. Le cinquième sommet est l'intersection de l'axe horizontal avec le cercle original.

Il existe une méthode similaire avec des cercles de Carlyle pour construire des heptadécagones réguliers[3].

Pour construire un 257-gone régulier avec des cercles de Carlyle, il faut construire 24 cercles de Carlyle[3]. L'un d'eux sert par exemple à résoudre l'équation x² + x − 64 = 0.

Il existe une méthode avec des cercles de Carlyle pour la construction du 65 537-gone régulier. Il y a cependant des problèmes pratiques pour l'implémentation d'une telle procédure[3] ; en effet, un des cercles de Carlyle à construire est lié à l'équation x² + x − 2¹⁴ = 0.