Catégorie homotopique des complexes de chaînes

Soit A une catégorie additive. La catégorie homotopique K(A) est basée sur la définition suivante : si on a des complexes A, B et des applications f, g de A à B, une homotopie de chaîne de f à g est une collection d'applications ${\displaystyle h^{n}\colon A^{n}\to B^{n-1}}$ (et non un morphisme de complexes) telle que

${\displaystyle f^{n}-g^{n}=d_{B}^{n-1}h^{n}+h^{n+1}d_{A}^{n},}$ ou simplement ${\displaystyle f-g=d_{B}h+hd_{A}.}$

Cela peut être représenté comme suit :

Si f et g sont homotopes, on dit que ${\displaystyle f-g}$ est homotope à 0. L'ensemble des morphismes de complexes qui sont homotope à 0 forme un groupe additif.

La catégorie homotopique des complexes de chaînes complexes K(A) est alors définie comme suit : ses objets sont les mêmes que les objets de Kom(A), à savoir les complexes de chaînes. Ses morphismes sont les « morphismes de complexes modulo homotopie » : c'est-à-dire qu'on définit une relation d'équivalence

${\displaystyle f\sim g\ }$ si f est homotope à g

et on définit

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{K(A)}(A,B)=\operatorname {Hom} _{Kom(A)}(A,B)/\sim }$

le quotient par cette relation ; il en résulte une catégorie additive.

Un morphisme ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ qui est un isomorphisme dans K(A) s'appelle une équivalence d'homotopie. Cela signifie qu'il existe une autre application ${\displaystyle g:B\rightarrow A}$, tel que les deux compositions soient homotopes à l'identité : ${\displaystyle f\circ g\sim Id_{B}}$ et ${\displaystyle g\circ f\sim Id_{A}}$ .

Le nom « homotopie » vient du fait que les applications homotopes d'espaces topologiques induisent des applications homotopes (au sens ci-dessus) de chaînes singulières.

Deux applications homotopes de chaîne f et g induisent les mêmes applications en l'homologie car (f − g) envoie les cycles sur des bords, qui sont nulles en homologie. En particulier une équivalence d'homotopie est un quasi-isomorphisme. (La réciproque est fausse en général.) Cela montre qu'il existe un foncteur canonique ${\displaystyle K(A)\rightarrow D(A)}$ sur la catégorie dérivée (si A est abélien).

Plus généralement, la catégorie homotopique Ho(C) d'une catégorie différentielle graduée C est définie comme ayant les mêmes objets que C, mais les morphismes sont définis par ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{Ho(C)}(X,Y)=H^{0}\operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}$. (Cela revient à l'homotopie des complexes de chaînes si C est la catégorie des complexes dont les morphismes n'ont pas à respecter les différentielles).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Homotopy category of chain complexes » (voir la liste des auteurs).

•  Yuri Ivanovich Manin et Sergei I. Gelfand, Methods of Homological Algebra, Berlin, New York, Springer-Verlag, 2003 (ISBN 978-3-540-43583-9)
•  Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, vol. 38, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics », 1994 (ISBN 978-0-521-55987-4, OCLC 36131259, MR 1269324)