Caractéristique d'un anneau

Il existe un unique morphisme d'anneaux unitaires ${\displaystyle f}$ de ℤ dans A (ℤ est en effet un objet initial de la catégorie des anneaux). Par définition, si n est un entier strictement positif, on a :

${\displaystyle f(n)=1_{A}+\cdots +1_{A}}$,

où 1_A est répété n fois. Comme ℤ est un anneau euclidien, le noyau de ${\displaystyle f}$ est un idéal principal et, par définition, la caractéristique de A est son générateur positif. Plus explicitement, c'est l'unique entier naturel n tel que le noyau de ${\displaystyle f}$ soit l'idéal nℤ.

• La caractéristique d'un anneau A est l'unique entier n positif ou nul tel que ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ soit un sous-anneau unitaire de A.
  Ceci résulte de la définition ci-dessus et du théorème de factorisation.
  On en déduit en particulier :
• Si B est un sous-anneau unitaire de A, alors A et B ont même caractéristique.
• Les anneaux de caractéristique nulle sont ceux dont ℤ est un sous-anneau unitaire. Ils sont donc infinis.
  C'est le cas du corps ${\displaystyle \mathbb {C} }$ des nombres complexes et de tous ses sous-anneaux unitaires, comme le corps ${\displaystyle \mathbb {R} }$ des nombres réels ou le corps ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ des nombres rationnels.
• Tout anneau totalement ordonné est de caractéristique nulle.
  En effet, l'homomorphisme ${\displaystyle \mathbb {Z} \to A}$ est croissant. Tout entier strictement positif est envoyé sur un élément strictement positif de l'anneau, a fortiori différent de 0.C'est par exemple le cas de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (et ses sous-anneaux unitaires).
• Le seul anneau dont la caractéristique vaut 1 est l'anneau nul.
• La caractéristique d'un anneau intègre est soit nulle, soit un nombre premier.

En effet, si ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ est un sous-anneau unitaire d'un anneau intègre alors il est lui-même intègre, donc n est nul ou premier.

• Pour tout morphisme d'anneaux unitaires g : A → B, la caractéristique de B divise celle de A.
  En effet, l'homomorphisme d'anneaux unitaires ${\displaystyle \mathbb {Z} \to B}$ est l'homomorphisme composé g ∘ f. Si p et q sont les caractéristiques respectives de A et de B, le noyau de g ∘ f est donc ${\displaystyle q\mathbb {Z} }$, or g(f (p)) = g(0_A) = 0_B, si bien que ${\displaystyle q\mathbb {Z} }$ contient p, autrement dit q divise p.
• Si A est un anneau commutatif, et si sa caractéristique est un nombre premier p, alors pour tous éléments x, y dans A, on a (x + y)^p = x^p + y^p. L'application qui à x associe x^p est un endomorphisme d'anneau appelé endomorphisme de Frobenius.
  Le résultat découle immédiatement de la formule du binôme de Newton et de ce que p divise les coefficients binomiaux apparaissant dans le développement.
• La caractéristique d'un produit d'anneaux A × B est le P.P.C.M des caractéristiques de ces anneaux.

Comme pour tout anneau intègre, la caractéristique d'un corps K est soit 0, soit un nombre premier p. De plus, dans le second cas, comme pour tout anneau de caractéristique p non nulle, K contient une copie de ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ qui (puisqu'ici p est premier) est un corps : c'est l'unique corps fini F_p à p éléments.

• Tout corps de caractéristique nulle contient une copie de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

  En effet, un tel corps K contient déjà (comme tout anneau de caractéristique nulle) une copie de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Comme K est un corps, il contient donc le corps des fractions de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, à savoir le corps ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ des rationnels. Tout corps possède donc un sous-corps minimal, son corps premier, isomorphe (selon sa caractéristique) à un corps fini F_p ou au corps ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

• Tout corps fini a pour caractéristique un nombre premier, et pour cardinal une puissance de ce nombre.

  Si K est un corps fini il est, comme tout anneau fini, de caractéristique non nulle. Par ce qui précède, sa caractéristique est donc un nombre premier p et K contient une copie du corps F_p. De fait, K est un espace vectoriel sur F_p. Donc son cardinal est p à la puissance sa dimension (laquelle, de ce fait, est nécessairement finie, autrement dit K est une extension finie de F_p).

• Pour tout nombre premier p, il existe des corps infinis de caractéristique p :

  par exemple le corps des fractions rationnelles sur F_p ou la clôture algébrique de F_p.