Bases mutuellement impartiales

Les trois bases

${\displaystyle M_{0}=\left\{|0\rangle ,|1\rangle \right\}}$

${\displaystyle M_{1}=\left\{{\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}},{\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}\right\}}$

${\displaystyle M_{2}=\left\{{\frac {|0\rangle +i|1\rangle }{\sqrt {2}}},{\frac {|0\rangle -i|1\rangle }{\sqrt {2}}}\right\}}$

fournissent l'exemple le plus simple de bases mutuellement impartiales dans C². Les bases ci-dessus sont composées des vecteurs propres du spin des matrices de Pauli ${\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{z}}$ et leur produit ${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{z}}$.

Pour d = 4, un exemple de d + 1 = 5 bases mutuellement impartiales où chaque base est notée M_j, 0 ≤ j ≤ 4, est donné comme suit[12] :

${\displaystyle M_{0}=\left\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\right\}}$

${\displaystyle M_{1}=\left\{{\frac {1}{2}}(1,1,1,1),{\frac {1}{2}}(1,1,-1,-1),{\frac {1}{2}}(1,-1,-1,1),{\frac {1}{2}}(1,-1,1,-1)\right\}}$

${\displaystyle M_{2}=\left\{{\frac {1}{2}}(1,-1,-i,-i),{\frac {1}{2}}(1,-1,i,i),{\frac {1}{2}}(1,1,i,-i),{\frac {1}{2}}(1,1,-i,i)\right\}}$

${\displaystyle M_{3}=\left\{{\frac {1}{2}}(1,-i,-i,-1),{\frac {1}{2}}(1,-i,i,1),{\frac {1}{2}}(1,i,i,-1),{\frac {1}{2}}(1,i,-i,1)\right\}}$

${\displaystyle M_{4}=\left\{{\frac {1}{2}}(1,-i,-1,-i),{\frac {1}{2}}(1,-i,1,i),{\frac {1}{2}}(1,i,-1,i),{\frac {1}{2}}(1,i,1,-i)\right\}}$

Soit ${\displaystyle {\hat {X}}}$ et ${\displaystyle {\hat {Z}}}$ deux opérateurs unitaires dans l'espace de Hilbert C,^d tels que

${\displaystyle {\hat {Z}}{\hat {X}}=\omega {\hat {X}}{\hat {Z}}}$

Pour des facteurs de phase ${\displaystyle \omega }$. Si ${\displaystyle \omega }$ est une racine primitive de l'unité, par exemple ${\displaystyle \omega \equiv e^{\frac {2\pi i}{d}}}$ alors les bases propres de ${\displaystyle {\hat {X}}}$ et ${\displaystyle {\hat {Z}}}$ sont mutuellement impartiales.

En choisissant la base propre de ${\displaystyle {\hat {Z}}}$ comme, base standard , nous pouvons générer une autre base qui lui est mutuellement impartiale à l'aide de la matrice de Fourier. Les éléments de la matrice de Fourier sont donnés par

${\displaystyle F_{ab}=\omega ^{ab},0\leq a,b\leq N-1}$

D'autres bases qui sont mutuellement impartiales à la fois par rapport à la base standard et de la base générée par la matrice de la transformée de Fourier peuvent être générées à l'aide des groupes de Weyl. La dimension de l'espace de Hilbert est importante lors de la génération des ensembles de bases mutuellement impartiales en utilisant des groupes de Weyl. Lorsque d est un nombre premier, les usuelles d + 1 bases mutuellement impartiales peuvent être générés à l'aide de groupes de Weyl. Lorsque d n'est pas un nombre premier, il est alors possible que le nombre maximal de bases mutuellement impartiales pouvant être générées à l'aide de cette méthode soit 3.

Lorsque d = p est premier, on définit les opérateurs unitaire ${\displaystyle {\hat {X}}}$ et ${\displaystyle {\hat {Z}}}$ par

${\displaystyle {\hat {X}}=\sum _{k=0}^{d-1}|k+1\rangle \langle k|}$

${\displaystyle {\hat {Z}}=\sum _{k=0}^{d-1}\omega ^{k}|k\rangle \langle k|}$

où ${\displaystyle \{|k\rangle |0\leq j\leq d-1\}}$ est la base standard et ${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{d}}}$ est une racine de l'unité.

Alors les bases propres des opérateurs d + 1 sont mutuellement impartiales:

${\displaystyle {\hat {X}},{\hat {Z}},{\hat {X}}{\hat {Z}},{\hat {X}}{\hat {Z}}^{2}...{\hat {X}}{\hat {Z}}^{d-1}}$

Lorsque ${\displaystyle d=p^{r}}$ est une puissance d'un nombre premier, nous utilisons le champ fini ${\displaystyle \mathbb {F} _{d}}$ un ensemble maximal de d + 1 bases mutuellement impartiales. Nous étiquetons les éléments de la base de calcul de C^d en utilisant le champ fini: ${\displaystyle \{|a\rangle |a\in \mathbb {F} _{d}\}}$.

Nous définissons les opérateurs ${\displaystyle {\hat {X_{a}}}}$ and ${\displaystyle {\hat {Z_{b}}}}$ de la manière suivante :

${\displaystyle {\hat {X_{a}}}=\sum _{c\in \mathbb {F} _{d}}|c+a\rangle \langle c|}$

${\displaystyle {\hat {Z_{b}}}=\sum _{c\in \mathbb {F} _{d}}\chi (bc)|c\rangle \langle c|}$

où

${\displaystyle \chi (\theta )=\exp \left[{\frac {2\pi i}{p}}\left(\theta +\theta ^{p}+\theta ^{p^{2}}+\cdots +\theta ^{p^{r-1}}\right)\right],}$

est un caractère additif sur le champ de l'addition et de la multiplication dans les technologies clés génériques et de la ${\displaystyle \chi (\cdot )}$ et c'est ${\displaystyle \mathbb {F} _{d}}$.

Ensuite, nous formons d + 1 ensembles d'opérateurs unitaires de commutations :

${\displaystyle \{{\hat {Z_{s}}}|s\in \mathbb {F} _{d}\}}$ et ${\displaystyle \{{\hat {X_{s}}}{\hat {Z_{sr}}}|s\in \mathbb {F} _{d}\}}$ pour chaque ${\displaystyle r\in \mathbb {F} _{d}}$

Les bases propres communes des opérateurs d'un ensemble sont mutuellement impartiales par rapport à celles de tout autre ensemble. Nous avons donc d + 1 bases mutuellement impartiales.

Étant donné qu'une base dans un espace de Hilbert est la base standard, alors toutes les bases impartiales par rapport à cette base peuvent être représentées par les colonnes d'une matrice complexe de Hadamard multipliées par un facteur de normalisation. Pour d = 3 ces matrices auraient la forme

${\displaystyle U={\frac {1}{\sqrt {d}}}{\begin{bmatrix}1&1&1\\e^{i\phi _{10}}&e^{i\phi _{11}}&e^{i\phi _{12}}\\e^{i\phi _{20}}&e^{i\phi _{21}}&e^{i\phi _{22}}\end{bmatrix}}}$

Le problème de trouver un ensemble de k+1 bases mutuellement impartiales correspond à la recherche de k matrices de Hadamard complexes impartiales.

Un exemple d'une famille de matrices de Hadamard à un paramètre dans un espace de Hilbert à 4 dimensions est ${\displaystyle H_{4}(\phi )={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&e^{i\phi }&-1&-e^{i\phi }\\1&-1&1&-1\\1&-e^{i\phi }&-1&e^{i\phi }\end{bmatrix}}}$