Base d'Auerbach

Soit ${\displaystyle X}$ un espace vectoriel normé. Pour tout vecteur ${\displaystyle a}$ et toute partie ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle X}$, la distance de ${\displaystyle a}$ à ${\displaystyle B}$ (ou, ce qui revient au même, à l'adhérence de ${\displaystyle B}$) est :

${\displaystyle d(a,B)=\inf _{b\in B}\|a-b\|.}$

La notation ${\displaystyle [B]}$ désignera l'adhérence du sous-espace vectoriel engendré par ${\displaystyle B}$.

Une partie ${\displaystyle A}$ de ${\displaystyle X}$ est appelée base d'Auerbach de ${\displaystyle X}$ si les trois conditions suivantes sont satisfaites :

• ${\displaystyle [A]=X}$, c'est-à-dire que le sous-espace vectoriel engendré par ${\displaystyle A}$ est dense dans ${\displaystyle X}$ ;
• pour tout vecteur ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle A}$, on a ${\displaystyle \|a\|=d(a,[A\setminus \{a\}])}$,c'est-à-dire que la norme de ${\displaystyle a}$ est égale à sa distance au sous-espace engendré par les autres vecteurs de ${\displaystyle A}$ ;
• le vecteur nul n'appartient pas à ${\displaystyle A}$.

Une base d'Auerbach ${\displaystyle A}$ est dite base d'Auerbach normée lorsque tous les vecteurs de ${\displaystyle A}$ ont pour norme 1.

• Toute base d'Auerbach ${\displaystyle A}$ est :
  • topologiquement libre c'est-à-dire[1] que pour tout ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle A}$, le vecteur ${\displaystyle a}$ n'appartient pas à ${\displaystyle \scriptstyle [A\setminus \{a\}]}$, et a fortiori algébriquement libre ;
  • topologiquement génératrice, ou « totale »[1] (c'est ce qu'exprime la condition ${\displaystyle [A]=X}$), mais pas nécessairement algébriquement génératrice.

(Si ${\displaystyle X}$ est de dimension finie, ces deux notions topologiques sont équivalentes à leurs homologues algébriques.)

• Dans les espaces vectoriels normés de dimension finie, le lemme d'Auerbach affirme qu'il y a toujours une base d'Auerbach.

Dans un espace préhilbertien, pour tout vecteur ${\displaystyle x}$ et toute partie ${\displaystyle B}$ on a :

${\displaystyle \|x\|=d(x,[B])\Leftrightarrow x\perp B}$

(le cas général se déduit du cas particulier où [B] est une droite). Dans un tel espace, la notion de base d'Auerbach normée est donc équivalente à celle de base de Hilbert.

La notion a été définie dans la thèse de Herman Auerbach. La thèse, écrite en 1929, a disparu. Mais la notion a été mentionnée dans une monographie de Stefan Banach de 1932[2].

Dans un espace de Banach ${\displaystyle X}$, une partie ${\displaystyle A}$ est une base d'Auerbach normée (si et) seulement si :

• ${\displaystyle [A]=X}$ ;
• pour tout vecteur ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle A}$, on a la condition de normalisation ${\displaystyle \|a\|=1}$ ;
• pour tout vecteur ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle A}$, il existe une forme linéaire continue ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle X}$ (donc un élément du dual topologique de ${\displaystyle X}$) de norme 1, nulle sur ${\displaystyle A\setminus \{a\}}$ et telle que ${\displaystyle f(a)=1}$.

En effet, d'après une version simplifiée du théorème de Hahn-Banach, pour tout sous-espace vectoriel fermé ${\displaystyle F}$ de l'espace de Banach ${\displaystyle X}$ et tout vecteur ${\displaystyle a}$ n'appartenant pas à ${\displaystyle F}$, il existe sur ${\displaystyle X}$ une forme linéaire ${\displaystyle f}$ de norme 1, nulle sur ${\displaystyle F}$, et telle que ${\displaystyle f(a)=d(a,F)}$.

• (de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Auerbachbasis » (voir la liste des auteurs).
• (en) Bartoszyński et al., « On bases in Banach spaces », in Studia Math., vol. 170, n^o 2, 2005, p. 147-171
• (de) Dirk Werner, Funktionalanalysis, Berlin/Heidelberg/New York, Springer, 2005, 5^e éd., 527 p. (ISBN 3-540-21381-3)

Base de Schauder