Annulateur (algèbre linéaire)

Soit ${\displaystyle E}$ un espace vectoriel sur un corps commutatif ${\displaystyle \mathbb {K} }$ et notons ${\displaystyle E^{*}}$ son dual algébrique. Soit ${\displaystyle A\subset E}$ un sous-ensemble quelconque de ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle B\subset E^{*}}$ un sous-ensemble quelconque de ${\displaystyle E^{*}}$. On définit alors l'annulateur à droite ${\displaystyle A^{o}}$ et l'annulateur à gauche ${\displaystyle ^{o}B}$ de la manière suivante :

• ${\displaystyle A^{o}:=\{l\in E^{*}\,|\,\forall x\in A,~l(x)=0\}}$,
• ${\displaystyle ^{o}B:=\{x\in E\,|\,\forall l\in B,~l(x)=0\}}$.

À noter que ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ n'ont pas besoin d'être des sous-espaces vectoriels dans cette définition.

Soit ${\displaystyle E}$ un espace vectoriel, ${\displaystyle A\subset E}$ et ${\displaystyle B\subset E^{*}}$.

• ${\displaystyle A^{o}}$ est un sous-espace vectoriel de ${\displaystyle E^{*}}$,
• ${\displaystyle ^{o}B}$ est un sous-espace vectoriel de ${\displaystyle E}$,
• ${\displaystyle A^{o}=(Vect(A))^{o}}$, où ${\displaystyle Vect(A)}$ est le plus petit sous-espace vectoriel de ${\displaystyle E}$ contenant ${\displaystyle A}$,
• ${\displaystyle ^{o}B={}^{o}(Vect(B))}$, où ${\displaystyle Vect(B)}$ est le plus petit sous-espace vectoriel de ${\displaystyle E^{*}}$ contenant ${\displaystyle B}$,
• ${\displaystyle ^{o}(A^{o})=Vect(A)}$,
• ${\displaystyle (^{o}B)^{o}\supset Vect(B)}$ avec égalité si ${\displaystyle B}$ est fini.

Soit ${\displaystyle A_{1},A_{2}\subset E}$ et ${\displaystyle B_{1},B_{2}\subset E^{*}}$.

• Si ${\displaystyle A_{1}\subset A_{2}}$ alors ${\displaystyle A_{2}^{o}\subset A_{1}^{o}}$,
• Si ${\displaystyle B_{1}\subset B_{2}}$ alors ${\displaystyle ^{o}B_{2}\subset {}^{o}B_{1}}$,
• ${\displaystyle (A_{1}+A_{2})^{o}=A_{1}^{o}\cap A_{2}^{o}}$,
• ${\displaystyle ^{o}(B_{1}+B_{2})={}^{o}B_{1}\cap {}^{o}B_{2}}$.

Si ${\displaystyle E}$ est de dimension finie et que ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont des sous-espaces vectoriels alors

• ${\displaystyle \dim(A)+\dim(A^{o})=\dim(E)}$,
• ${\displaystyle \dim(B)+\dim(^{o}B)=\dim(E)}$.

Ces propriétés permettent de démontrer qu'un sous-espace de dimension p peut s'écrire comme l'intersection de n-p hyperplans, où n est la dimension de l'espace entier.

• Paire duale
• Orthogonalité
• Espace bidual