Analyse multivectorielle

Étant donné une application ${\displaystyle F}$ d'un espace vectoriel ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ vers son algèbre géométrique ${\displaystyle {\mathcal {G}}({\mathcal {V}})}$, ainsi que deux vecteurs ${\displaystyle \mathbf {a} }$ et ${\displaystyle \mathbf {b} }$ de ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$, on appelle dérivée de ${\displaystyle F}$ dans la direction ${\displaystyle \mathbf {b} }$ au point ${\displaystyle \mathbf {a} }$, la limite, lorsqu'elle existe, du quotient ${\displaystyle (F(\mathbf {a} +\epsilon \mathbf {b} )-F(\mathbf {a} ))/\epsilon }$ lorsque le scalaire ${\displaystyle \epsilon }$ tend vers zéro. Cette limite est alors notée[2] ${\displaystyle \partial _{\mathbf {b} }F(\mathbf {a} )}$:

${\displaystyle \partial _{\mathbf {b} }F(\mathbf {a} )=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {F(\mathbf {a} +\epsilon \mathbf {b} )-F(\mathbf {a} )}{\epsilon }}}$

L'opérateur ${\displaystyle F\mapsto (\mathbf {a} \mapsto \partial _{\mathbf {b} }F(\mathbf {a} ))}$, dit de dérivation selon la direction ${\displaystyle \mathbf {b} }$, est noté ${\displaystyle \partial _{\mathbf {b} }}$.

Dans une base ${\displaystyle (\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\cdots )}$, l'opérateur de dérivation selon la direction ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$ est noté ${\displaystyle \partial _{j}}$.

• ${\displaystyle \partial _{\mathbf {a} +\mathbf {b} }=\partial _{\mathbf {a} }+\partial _{\mathbf {b} }}$
• ${\displaystyle \partial _{\lambda \mathbf {a} }=\lambda \partial _{\mathbf {a} }}$
• ${\displaystyle \partial _{\mathbf {a} }(F+G)=\partial _{\mathbf {a} }F+\partial _{\mathbf {a} }G}$
• ${\displaystyle \partial _{\mathbf {a} }(FG)=(\partial _{\mathbf {a} }F)G+F\partial _{\mathbf {a} }G}$ (règle du produit)
• ${\displaystyle \partial _{\mathbf {a} }{\langle F\rangle _{k}}=\langle \partial _{\mathbf {a} }F\rangle _{k}}$ (invariance de grade)
• ${\displaystyle \partial _{\mathbf {f} _{i}}=(\mathbf {f} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j})\partial _{\mathbf {e} _{j}}}$ (covariance).
• ${\displaystyle \partial _{\mathbf {a} }({F\circ \lambda })=(\partial _{\mathbf {a} }\lambda ){\frac {dF}{d\lambda }}}$ (règle dite d'enchainement scalaire, où ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} ^{\mathcal {V}}}$ et ${\displaystyle F\in {\mathcal {G}}^{\mathbb {K} }}$)
• ${\displaystyle \partial _{\mathbf {a} }(\mathbf {x} \mapsto \mathbf {x} )=\mathbf {a} }$
• ${\displaystyle \partial _{\mathbf {a} }(\mathbf {x} \mapsto A)=0}$, (où ${\displaystyle A}$ est un multivecteur constant)
• ${\displaystyle \partial _{\mathbf {a} }(\mathbf {x} \mapsto |\mathbf {x} |)=(\mathbf {x} \mapsto {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} }{|\mathbf {x} |}})}$
• ${\displaystyle \partial _{\mathbf {a} }(\mathbf {x} \mapsto {\frac {\mathbf {x} }{|\mathbf {x} |}})=(\mathbf {x} \mapsto {\frac {(\mathbf {a} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} )\mathbf {x} ^{-1})}{|\mathbf {x} |}}={\frac {\mathbf {x} ^{-1}(\mathbf {x} \wedge \mathbf {a} )}{|\mathbf {x} |}})}$
• ${\displaystyle F(\mathbf {x} +\mathbf {a} )=e^{\partial _{\mathbf {a} }}F(\mathbf {x} )=\sum _{k>=0}{\frac {(\partial _{\mathbf {a} })^{k}}{k!}}F(\mathbf {x} )}$ (développement de Taylor)

Une fonction ${\displaystyle F\in {\mathcal {G}}^{\mathcal {V}}}$ est dite continuellement différentiable en un point ${\displaystyle \mathbf {x} \in {\mathcal {V}}}$ lorsque pour tout vecteur ${\displaystyle \mathbf {a} \in {\mathcal {V}}}$, la dérivée de ${\displaystyle F}$ selon la direction ${\displaystyle \mathbf {a} }$ existe en tout point ${\displaystyle \mathbf {y} }$ d'un voisinage de ${\displaystyle \mathbf {x} }$, et forme une fonction continue de ${\displaystyle \mathbf {y} }$ dans ce voisinage.

Si ${\displaystyle F}$ est effectivement continuellement différentiable en ${\displaystyle \mathbf {x} }$, alors l'application ${\displaystyle \mathbf {a} \mapsto \partial _{\mathbf {a} }F(\mathbf {x} )}$ est une application linéaire appelée différentielle, ou première différentielle, de ${\displaystyle F}$. Cette application est notée en soulignant ${\displaystyle F}$ ou en l'indexant par ${\displaystyle \mathbf {a} }$ de telle sorte qu'on a:

${\displaystyle {\underline {F}}(\mathbf {a} ,\mathbf {x} )=F_{\mathbf {a} }(\mathbf {x} )=\partial _{\mathbf {a} }F(\mathbf {x} )}$

ou encore, lorsque le point fixe ${\displaystyle \mathbf {x} }$ est sous-entendu:

${\displaystyle {\underline {F}}(\mathbf {a} )=F_{\mathbf {a} }=\partial _{\mathbf {a} }F}$

• ${\displaystyle {\underline {F}}(\mathbf {a} +\mathbf {b} )={\underline {F}}(\mathbf {a} )+{\underline {F}}(\mathbf {b} )}$
• Pour ${\displaystyle |\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} |}$ suffisamment petit, ${\displaystyle F(\mathbf {x} )-F(\mathbf {x_{0}} )\approx {\underline {F}}(\mathbf {x} )-{\underline {F}}(\mathbf {x_{0}} )}$
• ${\displaystyle {\frac {dF}{dt}}(\mathbf {x} (t))={\underline {F}}({\frac {d\mathbf {x} (t)}{dt}},\mathbf {x} )}$

Il existe plusieurs manières de définir la dérivée vectorielle[3], et avec elle l'opérateur de dérivation vectorielle. Chacune présente des avantages et des inconvénients. Dans cette section les principales méthodes de définition sont présentées et sont assumées équivalentes. Dans tous les cas, la dérivée vectorielle d'une fonction est l'application de l' opérateur de dérivation vectorielle sur cette fonction, ou inversement, selon que ce qui est défini tout d'abord est la dérivée vectorielle ou l'opérateur de dérivation vectorielle.

• Analyse vectorielle
• Algèbre géométrique

• (en) Vector Differential Calculus, Eckhard Hitzer.
• (en) Multivector calculus [PDF], David Hestenes.
• (en) Differential forms in Geometric Calculus [PDF], David Hestenes.