Amibe (mathématiques)

Soit la fonction

${\displaystyle \mathrm {Log}$ :\left({\mathbb {C} }\backslash \{0\}\right)^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}

définie sur l'ensemble de tous les n-uplets ${\displaystyle z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})}$ de nombres complexes non nuls, et à valeurs dans l'espace euclidien ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ par la formule

${\displaystyle \mathrm {Log} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})=(\ln |z_{1}|,\ln |z_{2}|,\dots ,\ln |z_{n}|).\,}$

(où ln désigne le logarithme naturel). Si p(z) est un polynôme en ${\displaystyle n}$ variables complexes, son amibe ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$ est définie comme l'image de l'ensemble des zéros de p par la fonction Log, c'est-à-dire que :

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}=\left\{\mathrm {Log} (z)\,:\,z\in \left({\mathbb {C} }\backslash \{0\}\right)^{n},p(z)=0\right\}.\,}$

Les amibes furent définies en 1994 dans un livre de Israel Gelfand, A. V. Kapranov, et Andrei Zelevinsky[1].

• Toute amibe est un ensemble fermé ;
• Toute composante connexe du complémentaire ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\backslash {\mathcal {A}}_{p}}$ est convexe[2] ;
• L'aire d'une amibe d'un polynôme à deux variables est finie ;
• Les amibes en dimension 2 ont des "tentacules" infiniment longs, se rapprochant exponentiellement vite de droites asymptotes.

La fonction de Ronkin, associée au polynôme p(z=(z₁,...,z_n)) (en n variables complexes), va de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ vers ${\displaystyle \mathbb {R} }$, et est définie par

${\displaystyle N_{p}(x)={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\mathrm {Log} ^{-1}(x)}\ln |p(z)|\,{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\wedge {\frac {dz_{2}}{z_{2}}}\wedge \cdots \wedge {\frac {dz_{n}}{z_{n}}},}$

où ${\displaystyle x}$ est le vecteur ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$, ce qui est équivalent à

${\displaystyle N_{p}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{[0,2\pi ]^{n}}\ln |p(z)|\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n},}$

où ${\displaystyle z=\left(e^{x_{1}+i\theta _{1}},e^{x_{2}+i\theta _{2}},\dots ,e^{x_{n}+i\theta _{n}}\right)}$.

La fonction de Ronkin est convexe, et affine sur chaque composante connexe du complémentaire de l'amibe de ${\displaystyle p(z)}$[3].

Par exemple, la fonction de Ronkin d'un monôme ${\displaystyle p(z)=az_{1}^{k_{1}}z_{2}^{k_{2}}\dots z_{n}^{k_{n}}}$, avec ${\displaystyle a\neq 0}$, est

${\displaystyle N_{p}(x)=\log |a|+k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}+\cdots +k_{n}x_{n}.\,}$

Si on remplace dans la définition de la fonction Log le logarithme népérien par le logarithme en base b, et qu'on fait tendre b vers l'infini, on démontre que l'amibe se contracte vers l'ensemble des zéros de la fonction associée à p en restant dans Rⁿ et en remplaçant le polynôme par son analogue tropical, pour lequel les sommes de monômes ${\displaystyle ax^{m}y^{n}}$ sont remplacées par le maximum d'expressions de la forme ${\displaystyle b+mx+ny}$ (ces expressions sont les fonctions de Ronkin des monômes du polynôme). Il en résulte que cet ensemble, appelé squelette de l'amibe, est formé de portions de droites[4].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Amoeba (mathematics) » (voir la liste des auteurs).