Algèbre de Hecke d'un groupe fini

Soient F un corps de caractéristique nulle, G un groupe fini et H un sous-groupe de G. Soit ${\displaystyle F[G]}$ l'algèbre de groupe de G : c'est l'espace des fonctions de G dans F avec la multiplication donnée par convolution. On note ${\displaystyle F[G/H]}$ l'espace des fonctions de ${\displaystyle G/H}$ dans F. Une fonction (à valeurs dans F) sur ${\displaystyle G/H}$ détermine et est déterminée par une fonction sur G qui est invariante sous l'action de H par multiplication à droite. Autrement dit, on a une identification naturelle :

${\displaystyle F[G/H]=F[G]^{H}.}$

De même, on a une identification

${\displaystyle R:=\operatorname {End} _{G}(F[G/H])=F[G]^{H\times H}}$

définie ainsi : on envoie une application G-linéaire f sur la valeur de f évaluée en la fonction caractéristique de H. Pour chaque double classe ${\displaystyle HgH}$, soit ${\displaystyle T_{g}}$ sa fonction caractéristique. Alors, les ${\displaystyle T_{g}}$ forment une base de R.

L'algèbre de Hecke R de (G, H) est isomorphe à l'algèbre des endomorphismes de la représentation induite ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}F}$ de la représentation triviale de H[1].

• Double classe
• Paire de Gelfand (en)

• Claudio Procesi, Lie groups : An approach through invariants and representations, Springer, coll. « Universitext », 2007, xxiv+604 (ISBN 9780387260402, DOI 10.1007/978-0-387-28929-8), p. 14-15
• Mark Reeder, Notes on representations of finite groups (notes de cours), Boston College, 2011 (lire en ligne), p. 24-25