État KMS

Le cas le plus simple à étudier est un espace de Hilbert de dimension finie, ce qui évite la complexité liée notamment à la transition de phase ou à la brisure spontanée de symétrie. La matrice densité est donnée par :

${\displaystyle \rho _{\beta ,\mu }={\frac {e^{-\beta \left(H-\mu N\right)}}{\mathrm {Tr} \left[e^{-\beta \left(H-\mu N\right)}\right]}}={\frac {e^{-\beta \left(H-\mu N\right)}}{Z(\beta ,\mu )}}}$

où H est l'opérateur hamiltonien et N est l'opérateur du nombre de particules (particle number operator en anglais).

Dans la représentation de Heisenberg, la matrice densité ne change pas avec le temps, mais les opérateurs dépendent du temps. En particulier, faire une translation de l'opérateur A par τ dans le futur donne l'opérateur

${\displaystyle \alpha _{\tau }(A)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{iH\tau }Ae^{-iH\tau }}$.

• (en) Ryogo Kubo (1957), Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes. I. General Theory and Simple Applications to Magnetic and Conduction Problems, Journal of the Physical Society of Japan 12 (6): 570–586, DOI 10.1143/JPSJ.12.570
• (en) Paul C. Martin et Julian Schwinger (1959), Theory of Many-Particle Systems. I, Physical Review 115 (6): 1342–1373, Bibcode 1959PhRv..115.1342M, DOI 10.1103/PhysRev.115.1342
• (en) R. Haag, N. M. Hugenholtz et M. Winnink (1967), On the equilibrium states in quantum statistical mechanics, Communications in Mathematical Physics 5: 215–236, DOI 10.1007/BF01646342, (ISSN 0010-3616), MR0219283

• Théorie de jauge
• Spectre d'un opérateur linéaire