Équation de Darcy-Klinkenberg

Coefficient de transpiration thermique dans un cylindre.

On se placera dans le cas d'un gaz simple : une seule espèce sans degré de liberté interne comme les gaz rares. On définit un nombre de Knudsen de pore par :

${\displaystyle Kn={\frac {l}{d}}}$

où

• l est libre parcours moyen dans le gaz,
• ${\displaystyle d}$ la taille caractéristique du pore.

La loi de l'écoulement d'un gaz simple dans un milieu poreux en régime raréfié s'obtient par le changement d'échelle de la description cinétique (niveau microscopique dans le pore) à une description macroscopique. L'analyse fait apparaître une loi de type Darcy donnant le débit :

${\displaystyle \mathbf {q} =\rho \mathbf {V} =-{\mathcal {D}}\nabla \rho -{\mathcal {D}}^{T}{\frac {\nabla T}{T}}}$

où

• ${\displaystyle \mathbf {q} }$ est le flux de masse,
• ${\displaystyle \rho }$ la masse volumique du gaz,
• ${\displaystyle \mathbf {V} }$ sa vitesse moyenne dans le poreux,
• ${\displaystyle T}$ la température,
• ${\displaystyle {\mathcal {D}}\,(\rho ,T)}$ le coefficient de diffusion par gradient de concentration,
• ${\displaystyle {\mathcal {D}}^{T}(\rho ,T)}$ le coefficient de diffusion par gradient thermique (malgré son nom ce n'est pas un coefficient de diffusion).

On peut réécrire cette équation sous une forme différente en utilisant la loi des gaz parfaits :

${\displaystyle \mathbf {q} =-\rho {\mathcal {D}}\left[{\frac {\nabla p}{p}}+\left({\frac {{\mathcal {D}}^{T}}{\rho {\mathcal {D}}}}-1\right){\frac {\nabla T}{T}}\right]}$

${\displaystyle {\frac {{\mathcal {D}}^{T}}{\rho {\mathcal {D}}}}}$ s'appelle coefficient de transpiration thermique. Il varie de 0.5 en régime balistique (pas de collision entre particules) à 1 pour le régime continu (voir courbe). L'équation obtenue dans ce dernier cas est l'équation de Darcy avec une perméabilité ${\displaystyle K={\frac {\mu {\mathcal {D}}}{p}}}$ où ${\displaystyle \mu }$ est la viscosité dynamique.

Lorsque le milieu peut être considéré comme continu à l'exception de la région proche de la paroi appelée couche de Knudsen on peut utiliser une simple correction de la perméabilité pour prendre en compte le « glissement » du gaz à la paroi. Klinkenberg a donné une correction de la perméabilité établie sur une assemblée de conduites cylindriques parallèles :

${\displaystyle K=K_{0}\,\left(1+\alpha Kn\right)}$

À partir d'un certain nombre d'expériences il a montré que l'on pouvait approcher le terme correctif par une relation du type :

${\displaystyle \alpha Kn\simeq {\frac {\beta }{p}}}$

Il est intéressant de noter que la perméabilité à haute pression ${\displaystyle K_{0}}$ est assimilée à celle d'un liquide inerte utilisé dans ces expériences. Il n'existe pas de justification théorique à cette identification qui semble cependant assez bien vérifiée.