Équation d'Hugoniot

Dans une conduite ou une tuyère la variation lente de l'aire de la section droite permet d'assimiler l'écoulement à un écoulement en une dimension moyennant l'hypothèse :

${\displaystyle V_{y},V_{z}<<V_{x}}$

Soit ${\displaystyle A(x)}$ l'aire et ${\displaystyle f(x,y,z)}$ la quantité caractéristique à laquelle on s'intéresse. On écrit cette quantité sous forme d'une partie principale moyenne et d'un écart local à cette valeur :

${\displaystyle f={\bar {f}}(x)+{\tilde {f}}(x,y,z)}$

${\displaystyle {\tilde {f}}}$ étant supposé en ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )}$ on peut écrire :

${\displaystyle {\overline {f\,g}}\simeq {\bar {f}}\,{\bar {g}}}$

et

${\displaystyle {\overline {\frac {\partial f}{\partial x}}}\simeq {\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial x}}}$

Ces relations vont nous permettre de moyenner les termes de l'équation d'Euler, non linéaire.

Dans le domaine ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ contenant le fluide, limité par la surface ${\displaystyle \partial {\mathcal {D}}}$, de normale sortante ${\displaystyle \mathbf {n} }$ on peut écrire les bilans de conservation pour les équations d'Euler sous la forme suivante[3] :

• on suppose nulle la masse entrante sur les parois :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\int _{A}\rho \,da\,dx=-\int _{\partial {\mathcal {D}}}\rho \mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \,da\simeq -\left[\int _{A(x)}\rho V_{x}\,da\right]_{x_{1}}^{x_{2}}}$

À l'ordre 0 en ${\displaystyle \epsilon }$ et en utilisant l'expression donnant la moyenne d'un produit :

${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}A{\frac {\partial {\bar {\rho }}}{\partial t}}dx=-\left[A\,{\bar {\rho }}\,{\bar {V}}\right]_{x_{1}}^{x_{2}}}$

Soit en dérivant :

${\displaystyle A\,{\frac {\partial {\bar {\rho }}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(A\,{\bar {\rho }}\,{\bar {V}})=0}$

• en effectuant les mêmes opérations sur la quantité de mouvement et en utilisant l'équation de continuité on obtient :

${\displaystyle {\bar {\rho }}\left({\frac {\partial {\bar {V}}}{\partial t}}+{\bar {V}}{\frac {\partial {\bar {V}}}{\partial x}}\right)=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x}}}$

• de même pour l'équation de l'énergie en utilisant les équations de continuité et de quantité de mouvement :

${\displaystyle {\bar {\rho }}\left({\frac {\partial {\bar {e}}}{\partial t}}+{\bar {V}}{\frac {\partial {\bar {e}}}{\partial x}}\right)=-{\frac {\bar {p}}{A}}{\frac {\partial }{\partial x}}(A{\bar {V}})}$

Elles découlent trivialement des précédentes :

• bilan de masse :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(A\,{\bar {\rho }}\,{\bar {V}})=0}$

• bilan de quantité de mouvement :

${\displaystyle {\bar {\rho }}\,{\bar {V}}{\frac {\mathrm {d} {\bar {V}}}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {\mathrm {d} {\bar {p}}}{\mathrm {d} x}}}$

• bilan d'énergie :

${\displaystyle {\bar {\rho }}{\bar {V}}{\frac {\mathrm {d} {\bar {e}}}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {\bar {p}}{A}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(A{\bar {V}})}$

La vitesse du son ${\displaystyle {\bar {c}}}$ à l'ordre 0 en ${\displaystyle \epsilon }$ dans le milieu est donnée par:

${\displaystyle {\bar {c\,}}^{2}=\left.{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial {\bar {\rho }}}}\right|_{S}}$

${\displaystyle S}$ (et non ${\displaystyle {\bar {S}}}$) est l'entropie. L'utilisation de cette relation suppose donc une restriction de ce qui suit à un écoulement isentropique, sans onde de choc. Dans notre cas :

${\displaystyle \mathrm {d} {\bar {p}}={\bar {c\,}}^{2}\mathrm {d} {\bar {\rho }}}$

L'équation stationnaire de quantité de mouvement s'écrit alors :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\bar {\rho }}}{\bar {\rho }}}=-{\bar {M}}^{2}\,{\frac {\mathrm {d} {\bar {V}}}{\bar {V}}}}$

où ${\displaystyle {\bar {M}}={\frac {\bar {V}}{\bar {c}}}}$ est le nombre de Mach à l'ordre 0.

L'équation de continuité stationnaire peut s'écrire sous la forme :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{A}}+{\frac {\mathrm {d} {\bar {\rho }}}{\bar {\rho }}}+{\frac {\mathrm {d} {\bar {V}}}{\bar {V}}}=0}$

En l'introduisant dans l'équation précédente on obtient l'équation d'Hugoniot :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{A}}=({\bar {M}}^{2}-1){\frac {\mathrm {d} {\bar {V}}}{\bar {V}}}}$

Cette équation montre que :

• en subsonique une diminution de l'aire entraîne une augmentation de la vitesse,
• en supersonique c'est le contraire.

Cette observation est à la base de la tuyère de Laval.

• Ecoulement monodimensionnels des fluides compressibles

• Équations de Navier-Stokes
• Relations de Rankine-Hugoniot