Équation cinétique de Landau

La première dérivation a été donnée dans l'article original de Landau[1]. L'idée approximative pour la dérivation est la suivante:

En considérant un gaz spatialement homogène de particules ponctuelles et de masse unitaire décrite par ${\displaystyle f(v,t)}$, on peut définir un potentiel corrigé pour les interactions de Coulomb, ${\displaystyle {\hat {U_{ij}}}=U_{ij}exp({\frac {-r_{ij}}{r_{D}}})}$, avec ${\displaystyle U_{ij}}$ le potentiel de Coulomb (${\displaystyle U_{ij}={\frac {e_{i}e_{j}}{|x_{i}-x_{j}|}}}$), et ${\displaystyle r_{D}}$ le rayon de Debye. Le potentiel ${\displaystyle {\hat {U_{ij}}}}$ est ensuite inséré dans l'intégrale de collision de Boltzmann (le terme de collision de l'équation de Boltzmann ) et résolu pour le terme asymptotique principal vers la limite ${\displaystyle r_{D}\rightarrow \infty }$.

En 1946, la première dérivation formelle de l'équation de la hiérarchie BBGKY a été publiée par Nikolay Bogolyubov[9].

En 1957, l'équation a été dérivée indépendamment par Marshall Rosenbluth[10]. En résolvant l'équation de Fokker-Planck sous une force inverse carrée, on peut obtenir :

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi L}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial v_{\alpha }}}(-f_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial v_{\alpha }}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial v_{\beta }}}(f_{i}{\frac {\partial ^{2}g_{i}}{\partial v_{\alpha }\partial v_{\beta }}}))}$

où ${\displaystyle h_{i},g_{i}}$ sont les potentiels de Rosenbluth :

${\displaystyle h_{i}=\sum _{j=1}^{n}K_{ij}\int dw{\frac {f_{i}(w,t)}{|v-w|}}}$

${\displaystyle g_{i}=\sum _{j=1}^{n}K_{ij}{\frac {m_{j}}{m_{i}}}\int dw{\frac {f_{i}(w,t)}{|v-w|}}}$

pour ${\displaystyle K_{ij}={\frac {e_{i}^{2}e_{j}^{2}}{m_{i}m_{j}}},i=1,2,...,n}$. La représentation Fokker-Planck de l'équation est principalement utilisée pour sa commodité dans la modélisation numérique et les calculs.

Une version relativiste de l'équation a été publiée en 1956 par Gersh Budker et Spartak Belyaev[11].

Considérant les particules relativistes avec quantité de mouvement ${\displaystyle p=(p^{1},p^{2},p^{3})\in \mathbb {R} ^{3}}$ et l'énergie ${\displaystyle p^{0}={\sqrt {1+|p|^{2}}}}$, l'équation est la suivante:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}dq\Phi ^{ij}(p,\ q)[h(q){\frac {\partial }{\partial p_{j}}}g(p)-{\frac {\partial }{\partial q_{j}}}h(q)g(p)]}$

où le noyau est donné par ${\displaystyle \Phi ^{ij}=\mathrm {A} (p,q)S^{ij}(p,q)}$ tel que:

${\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {\left(\rho _{-}+1\right)^{2}}{p^{0}q^{0}}}\left(\rho _{+}\rho _{-}\right)^{-{\frac {-3}{2}}}}$

${\displaystyle S^{ij}=\rho _{+}\rho _{-}\delta _{ij}-\left(p_{i}-q_{i}\right)\left(p_{j}-q_{j}\right)+\rho _{-}\left(p_{i}q_{j}+p_{j}q_{i}\right)}$

${\displaystyle \rho _{\pm }=p^{0}q^{0}-pq\pm 1}$

Une correction relativiste à l'équation est pertinente car les particules dans le plasma chaud atteignent souvent des vitesses relativistes[3].

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• Équation de Vlasov