Longueur de Debye

La longueur de Debye se pose dans la description thermodynamique des systèmes à grand nombre de charges mobiles. Dans un système de N différentes espèces de charges, la ${\displaystyle j}$-ième espèce porte la charge ${\displaystyle q_{j}}$ et a une concentration ${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}$ à la position ${\displaystyle \mathbf {r} }$. D'après le dénommé "primitive model", ces charges sont réparties dans un milieu continu qui est caractérisé seulement par sa permittivité relative statique ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$. La répartition des charges dans le milieu est donnée par un potentiel électrique ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$ qui satisfait l'équation de Poisson:

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}\,n_{j}(\mathbf {r} )}$,

où ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ est la permittivité diélectrique du vide.

Ces charges mobiles créent aussi un mouvement en réponse à la force de Coulomb associée ${\displaystyle -q_{j}\,\nabla \Phi (\mathbf {r} )}$. La concentration de la ${\displaystyle j}$-ième espèce de charge est décrite par la distribution de Boltzmann:

${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )=n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{B}T}}\right)}$,

où ${\displaystyle k_{B}}$ est la constante de Boltzmann et ${\displaystyle n_{j}^{0}}$ est la concentration moyenne de charge de l'espèce j.

En identifiant les concentrations instantanées et le champ moyen dans ces deux équations, cela donne l'équation de Poisson-Boltzmann.

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{B}T}}\right)}$.

Une solution peut être trouvée pour les systèmes à hautes températures lorsque ${\displaystyle q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )\ll k_{B}T}$ par un développement en série de Taylor de la fonction exponentielle:

${\displaystyle \exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{B}T}}\right)\approx 1-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{B}T}}}$.

Cette approximation donne l'équation de Poisson-Boltzmann linéarisée

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{N}{\frac {n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}\,k_{B}T}}\right)\,\Phi (\mathbf {r} )-{\frac {1}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}q_{j}}$

qui est aussi connue sous le nom d'équation de Debye-Hückel. Le second terme de la partie droite disparaît pour les systèmes électriquement neutres. Le terme entre parenthèses est homogène à l'inverse d'une longueur au carré et donne la longueur caractéristique :

${\displaystyle \lambda _{D}=\left({\frac {\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}\,k_{B}T}{\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}}\right)^{1/2}}$

dite longueur de Debye. Le potentiel produit par une charge ponctuelle externe ${\displaystyle \rho _{\rm {ext}}=Q\delta (\mathbf {r} )}$ est:

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}}e^{-r/\lambda _{\rm {D}}}}$.

Le potentiel de Coulomb est écranté exponentiellement par le milieu, sur une distance de l’ordre de la longueur de Debye : ceci est appelé écrantage de Debye.

Dans l'espace, la densité d'électrons dans les plasmas est relativement faible, ce qui permet d'obtenir les ordres de grandeurs macroscopiques pour la longueur de Debye (voir table) :

Pour un plasma faiblement collisionnel, l’écrantage de Debye peut être introduit de manière très intuitive en tenant compte de son caractère granulaire. Imaginons une sphère autour d’un de ses électrons, et comparons le nombre d’électrons traversant cette sphère avec et sans répulsion de Coulomb. Avec la répulsion, ce nombre est plus petit. Par conséquent, selon le théorème de Gauss, la charge apparente du premier électron est plus petite qu’en l’absence de répulsion. Plus le rayon de la sphère est grand, plus le nombre de particules défléchies est grand, et plus la charge apparente est petite : c’est l’écrantage de Debye. Puisque la déviation globale des particules inclut les contributions de beaucoup d’autres, la densité des électrons ne change pas, en contradiction avec l’écrantage au voisinage d’une paroi matérielle. Les ions apportent une contribution similaire à l’écrantage, en raison de la déviation coulombienne attractive de charges avec des signes opposés.

Cette image intuitive conduit à un calcul efficace de l’écrantage Debye (voir section II.A.2 de[1]). L’hypothèse d’une distribution de Boltzmann n’est pas nécessaire dans ce calcul : elle fonctionne pour n’importe quelle fonction de distribution des particules. Le calcul évite également de traiter les plasmas faiblement collisionnels comme milieux continus. Un calcul N-corps révèle que l’accélération de Coulomb d’une particule par une autre est modifiée par une contribution intermédiée par toutes les autres particules, signature de l’écrantage de Debye (voir la section 8 de[2]). En partant avec des positions aléatoires des particules, l’échelle de temps typique pour l’écrantage est le temps mis par une particule thermique pour traverser une longueur de Debye, c.-à-d. l’inverse de la fréquence du plasma. Par conséquent, dans un plasma faiblement collisionnel, les collisions jouent un rôle essentiel en apportant un processus d’auto-organisation coopérative : l’écrantage de Debye.

L'expression de la longueur de Debye dans un plasma est:

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {D} }={\sqrt {\frac {\displaystyle {\frac {\varepsilon _{0}\,k_{B}}{q_{\mathrm {e} }^{2}}}}{\displaystyle {\frac {n_{\mathrm {e} }}{T_{\mathrm {e} }}}+\displaystyle \sum _{\mathrm {ij} }{\frac {j^{2}n_{\mathrm {ij} }}{T_{\mathrm {i} }}}}}}}$

où:

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {D} }}$ est la longueur de Debye,

${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ est la permittivité du vide,

${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ est la constante de Boltzmann,

${\displaystyle q_{\mathrm {e} }}$ est la charge d'un électron,

${\displaystyle T_{\mathrm {e} }}$ et ${\displaystyle T_{\mathrm {i} }}$ sont respectivement les températures des électrons et des ions,

${\displaystyle n_{\mathrm {e} }}$ est la densité d'électrons,

${\displaystyle n_{\mathrm {ij} }}$ est la densité d'atomes ${\displaystyle i}$ ayant une charge ${\displaystyle jq_{\mathrm {e} }}$

Le terme ionique est souvent négligé (lorsque la température des ions est négligeable devant celle des électrons}. La formule se simplifie alors en :

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {D} }={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}\,k_{\mathrm {B} }\,T_{\mathrm {e} }}{n_{\mathrm {e} }\,{q_{\mathrm {e} }}^{2}}}}}$

B. Diu, C. Guthmann, D. Lederer, B. Roulet, Physique Statistique, Hermann, 1989.

(en) R.J. Hunter, Foundations of Colloid Science [« Bases de science des colloïdes »], Oxford University Press, 2^e éd., 2001.

• Peter Debye
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