Équation caractéristique d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants

On considère l'équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants ${\displaystyle a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{1},a_{0}}$,

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0.}$

on peut voir que si ${\displaystyle y(x)=e^{rx}}$, chaque terme sera un multiple de ${\displaystyle e^{rx}}$ par une constante. Cela résulte du fait que la dérivée de la fonction exponentielle ${\displaystyle e^{rx}}$ est un multiple d'elle-même. Par conséquent, ${\displaystyle y'=re^{rx}}$, ${\displaystyle y''=r^{2}e^{rx}}$ et ${\displaystyle y^{(n)}=r^{n}e^{rx}}$ sont toutes multiples de ${\displaystyle e^{rx}}$. On peut en déduire que certaines valeurs de ${\displaystyle r}$, permettront à des multiples de ${\displaystyle e^{rx}}$ d'avoir une somme égale à zéro et de résoudre ainsi l'équation différentielle homogène[3]. Pour trouver les valeurs de ${\displaystyle r}$, on peut remplacer ${\displaystyle y}$ et ses dérivées par ${\displaystyle e^{rx}}$ et ses dérivées dans l'équation différentielle pour obtenir :

${\displaystyle a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0.}$

Puisque ${\displaystyle e^{rx}}$ ne peut jamais être nul, on peut simplifier l'équation pour obtenir l'équation caractéristique

${\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0.}$

En trouvant les racines ${\displaystyle r}$ de cette équation caractéristique, on pourra trouver la solution générale de l'équation différentielle[1] - [4].

Résoudre l'équation caractéristique pour trouver ses racines, ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$, permet de trouver la solution générale de l'équation différentielle. Les racines peuvent être réelles et/ou complexes, simples et/ou multiples. Si une équation caractéristique a pour solutions des racines réelles simples, ${\displaystyle h}$ racines réelles multiples et/ou ${\displaystyle k}$ racines complexes, correspondant respectivement aux solutions générales ${\displaystyle y_{D}(x)}$, ${\displaystyle y_{R_{1}}(x),\ldots ,y_{R_{h}}(x)}$, et ${\displaystyle y_{C_{1}}(x),\ldots ,y_{C_{k}}(x)}$, alors la solution générale de l'équation différentielle est

${\displaystyle y(x)=y_{D}(x)+y_{R_{1}}(x)+\cdots +y_{R_{h}}(x)+y_{C_{1}}(x)+\cdots +y_{C_{k}}(x).}$

Si l'équation caractéristique a une racine ${\displaystyle r_{1}}$ qui est répétée ${\displaystyle k}$ fois, alors il est clair que ${\displaystyle y_{p}(x)=c_{1}e^{r_{1}x}}$, au moins, est solution[1]. Mais cela ne suffit pas : à cette racine ${\displaystyle r_{1}}$ d'ordre ${\displaystyle k}$ doivent correspondre ${\displaystyle k}$ solutions indépendantes. Puisque ${\displaystyle r_{1}}$ est racine multiple d'ordre ${\displaystyle k}$, l'équation différentielle peut être factorisée en[1] :

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-r_{1}\right)^{k}y=0.}$

Le fait que ${\displaystyle y_{p}(x)=c_{1}e^{r_{1}x}}$ soit une solution permet de supposer que la solution générale peut être de la forme ${\displaystyle y(x)=u(x)e^{r_{1}x}}$ où ${\displaystyle u}$ est une fonction à déterminer.

En remplaçant ${\displaystyle y}$ par ${\displaystyle ue^{r_{1}x}}$ on obtient :

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-r_{1}\right)ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(ue^{r_{1}x})-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(u)e^{r_{1}x}.}$

En appliquant ce fait ${\displaystyle k}$ fois, il s'ensuit que

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}(u)e^{r_{1}x}.}$

L'équation différentielle sur ${\displaystyle y}$ équivaut donc à l'équation différentielle suivante sur ${\displaystyle u}$ :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0.}$

En divisant par ${\displaystyle e^{r_{1}x}}$, elle devient :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}(u)=u^{(k)}=0.}$

Par conséquent, ${\displaystyle u}$ est solution si et seulement si[4] c'est un polynôme de degré inférieur ou égal à ${\displaystyle k-1}$, soit

${\displaystyle u(x)=c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}+\cdots +c_{k}x^{k-1}.}$

Puisque ${\displaystyle y(x)=ue^{r_{1}x}}$, la partie de la solution générale correspondant à la racine ${\displaystyle r_{1}}$ est

${\displaystyle y_{R_{1}}(x)=e^{r_{1}x}(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}).}$

Dans le cas d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients réels constants, si l'équation caractéristique a des racines complexes de la forme ${\displaystyle r_{1}=a+b\mathrm {i} }$ et ${\displaystyle r_{2}=a-b\mathrm {i} }$, alors la solution générale à valeurs complexes est

${\displaystyle y(x)=c_{1}\operatorname {e} ^{(a+b\mathrm {i} )x}+c_{2}\operatorname {e} ^{(a-b\mathrm {i} )x},\quad c_{1},c_{2}\in \mathbb {C} }$

ou, ce qui est équivalent :

${\displaystyle y(x)=\operatorname {e} ^{ax}\left(d_{1}\cos(bx)+d_{2}\sin(bx)\right),\quad d_{1},d_{2}\in \mathbb {C} }$.

L'intérêt de la seconde expression est de fournir les fonctions à valeurs réelles solutions de l'équation différentielle, pour les valeurs réelles des constantes ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$.