Écrantage du champ électrique

Dans l'approximation de Debye-Hückel, le système est supposé maintenu à l'équilibre, à une température ${\displaystyle T}$ suffisamment élevée pour que les particules suivent la statistique de Maxwell-Boltzmann. En chaque point de l'espace, la densité des électrons d'énergie ${\displaystyle j}$ a pour forme

${\displaystyle \rho _{j}(r)=\rho _{j}^{(0)}(r)\;\exp \!\left[{\frac {e\phi (r)}{k_{B}T}}\right]}$

où ${\displaystyle k_{B}}$ est la constante de Boltzmann. Si nous développons au premier ordre en supposant une perturbation dans ${\displaystyle \phi }$, nous obtenons :

${\displaystyle e\Delta \rho \simeq \varepsilon _{0}k_{0}^{2}\Delta \phi }$

avec

${\displaystyle k_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {\rho e^{2}}{\varepsilon _{0}k_{B}T}}}}$.

La longueur ${\displaystyle \lambda _{D}\equiv 1/k_{0}}$ est appelée longueur de Debye. Il s'agit d'une échelle de longueur fondamentale en physique classique des plasmas.

Dans l'approximation de Fermi-Thomas, nous supposons que le système est maintenu à un potentiel chimique constant et à basse température. En pratique, la première des deux approximations consiste à supposer que le système est en contact électrique avec une référence de potentiel électrique comme la terre. Le potentiel chimique, noté ${\displaystyle \mu }$ est par définition l'énergie nécessaire pour ajouter un électron supplémentaire au système. Cette énergie peut être décomposée en une énergie cinétique ${\displaystyle T}$ et une énergie potentielle ${\displaystyle e\phi }$. Puisque le potentiel chimique est constant,

${\displaystyle \Delta \mu =\Delta T-e\Delta \phi =0}$.

Si la température est très basse, le comportement des électrons peut être traité dans le cadre du modèle de gaz d'électrons libres. Nous faisons donc l'hypothèse que ${\displaystyle T}$ peut être approché par l'énergie d'un électron dans le gaz, ce qui est simplement l'énergie de Fermi ${\displaystyle E_{F}}$. L'énergie de Fermi est reliée à la densité d'électrons (en incluant la dégénérescence de spin) par :

${\displaystyle \rho =2{\frac {1}{(2\pi )^{3}}}{\frac {4}{3}}\pi k_{F}^{3}\quad ,\quad E_{F}={\frac {\hbar ^{2}k_{F}^{2}}{2m}}}$.

En perturbant cette expression au premier ordre, nous trouvons que

${\displaystyle \Delta \rho \simeq {\frac {3\rho }{E_{F}}}\Delta E_{F}}$.

En insérant cette expression dans l'équation ci-dessus de ${\displaystyle \Delta \mu }$, nous obtenons :

${\displaystyle e\Delta \rho \simeq \varepsilon _{0}k_{0}^{2}\Delta \phi }$

avec

${\displaystyle k_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {3e^{2}\rho }{\varepsilon _{0}E_{F}}}}={\sqrt {\frac {me^{2}k_{f}}{\varepsilon _{0}\pi ^{2}\hbar ^{2}}}}}$.

${\displaystyle k_{0}}$ est appelé le vecteur d'onde écranté de Fermi-Thomas.

Remarquons que nous avons utilisé un résultat provenant d'un gaz d'électrons libres, ce qui est un modèle d'électrons sans interactions, alors que le fluide que nous étudions comporte une interaction de Coulomb. L'approximation de Fermi-Thomas n'est donc valable que lorsque la densité d'électrons est suffisamment grande pour que les interactions entre particules soient faibles.

Les résultats que nous avons obtenus à partir des approximations de Debye-Hückel ou Fermi-Thomas peuvent maintenant être insérés dans la première équation de Maxwell :

${\displaystyle \left[\nabla ^{2}-k_{0}^{2}\right]\phi (r)=-{\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\delta (r)}$.

Cette équation est connue sous le nom d'équation de Poisson écrantée (en). Une solution est

${\displaystyle \phi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}e^{-k_{0}r}}$.

Elle est connue sous le nom de potentiel de Coulomb écranté. Il s'agit d'un potentiel de Coulomb multiplié par une exponentielle d'amortissement. La force de l'amortissement est donnée par ${\displaystyle k_{0}}$, vecteur d'onde de Fermi-Thomas.